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第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
新课程标准解读 学科核心素养
理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及其结构特征，能够识别和区分这些几何体. 直观想象
了解简单组合体的概念和基本形式. 直观想象
会根据旋转体的几何体特征进行相关运算. 直观想象、数学运算
教材梳理 明要点
如图，观察下列实物图．
问题
(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
?情境导入
[提示]
[提示]
(1)上述三个实物是由曲面围成的．
(2)能．
(3)球体可由圆面绕直径所在直线旋转而成，纸杯可由等腰梯形绕上、下底中点的连线所在的直线旋转而成，草莓可由直角三角形绕一直角边旋转而成．
知识点一 圆柱的结构特征
?新知初探
定义 以_____________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图示及
相关概念 轴：_________叫做圆柱的轴；
底面：___________的边旋转而成的圆面；
侧面：___________的边旋转而成的曲面；
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，_________
_________；
柱体：_______________________
[提醒1]
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴
的边
棱柱和圆柱统称为柱体
[提醒1]
对圆柱的再理解：①圆柱的底面是两个半径相等的圆面，两圆面所在平面互相平行；②通过轴的各个截面叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；③母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高．
想一想
如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？过它们的截面是怎样的图形？连接AC，AC还是母线吗？
提示：AB平行于CD.截面ABCD是矩形．AC不是母线．
知识点二 圆锥的结构特征
定义 以_________________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图示及
相关
概念 轴：_________叫做圆锥的轴；
底面：___________的边旋转而成的圆面；
侧面：___________________旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，________________；
锥体：_______________________
[提醒2]
直角三角形的一条直角边
旋转轴
垂直于轴
直角三角形的斜边
不垂直于轴的边
棱锥和圆锥统称为锥体
[提醒2]
圆锥具有的性质：①通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形；②过顶点和底面相交的截面是等腰三角形；③母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等．
想一想
以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是圆锥，这句话对吗？
提示：不对．必须以直角边所在直线为轴．若以斜边所在直线为轴，形成的几何体是同底面的两个圆锥的组合体．
知识点三 圆台的结构特征
定义 用_________________的平面去截圆锥，_____________之间的部分叫做圆台
图示及
相关
概念 轴：圆锥的_____；
底面：圆锥的底面和_______；
侧面：圆锥的侧面在_____________之间的部分；
母线：圆锥的母线在_____________之间的部分；
台体：_______________________
[提醒3]
平行于圆锥底面
底面与截面
轴
截面
底面与截面
底面与截面
棱台和圆台统称为台体
[提醒3]
圆台具有的性质：①通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形；②任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形；③母线长都相等，各母线延长后都相交于一点．
知识点四 球的结构特征
定义 以_____________所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图示及
相关
概念 球心：半圆的_______叫做球的球心；
半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；
直径：连接球面上两点并且___________的线段叫做球的直径
半圆的直径
圆心
经过球心
想一想
球能否由圆面旋转而成？
提示：能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球．
知识点五 简单组合体
1．定义：由_____________组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体_______而成；另一种是由简单几何体_____________一部分而成．
简单几何体
拼接
截去或挖去
1．下列命题中正确的是( )
A．以等腰三角形的底边上的中线所在的直线为轴旋转半周所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
【答案】 A
?预习自测
【解析】 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴，旋转一周所得的旋转体才是圆台，所以选项B不正确；圆锥仅有一个底面，所以选项C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以选项D不正确．很明显选项A正确．
2．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为________.
【答案】 r2
题型探究 提技能
1.下列说法正确的是________(填序号)．
①圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
②一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
④到定点的距离等于定长的点的集合是球．
【答案】 ③
题型一
旋转体的结构特征
【解析】 ①错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；②错误，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示；③正确；④错误．应为球面．
[方法总结1]
[方法总结1]
判断简单旋转体结构特征问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键；
(2)解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．
１
有下列命题：①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】 C
【解析】 圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，①正确；在圆台上、下底面圆周上各取一点，两点的连线不一定是圆台的母线，②错误；圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的，③正确．故选C.
2.请描述如图所示的几何体是如何形成的：
【解析】 ①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体．
题型二
简单组合体的结构特征
[方法总结2]
[方法总结2]
判断组合体构成的方法
(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体；
(2)组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．
2
(1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆柱、一个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
【答案】 (1)A (2)D
【解析】 (1)该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.
(2)图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥．
【答案】 1或7
题型三
旋转体中与截面有关的计算问题
[方法总结3]
[方法总结3]
旋转体截面问题的解题策略
(1)画出旋转体的轴截面或相关截面；
(2)在截面中借助直角三角形或三角形相似关系建立高、母线长、底面圆或截面圆的半径长的等量关系即可求解．
3
若底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
【答案】 A
随堂检测 重反馈
1．下列几何体中不是旋转体的是( )
【答案】 D
2．下列命题中正确的是( )
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 ②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面 ③圆台的两个底面可以不平行
A．①② B．②
C．②③ D．①③
【答案】 B
【解析】 ①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误；易知②正确，故选B.
3.关于图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体挖去一个四棱柱构成 ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成 ③由一个长方体挖去一个四棱台构成 ④由一个长方体与两个四棱台组合而成
其中正确说法的序号是________.
【答案】 ①②
4．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为________.
【答案】 2
【解析】 因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1，所以圆柱的轴截面的面积为2×1＝2.第八章 8.1 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列说法中正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
【答案】 C
【解析】 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误．
2．直角三角形绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是( )
A．圆台
B．圆台或两个圆锥的组合体
C．圆锥或两个圆锥的组合体
D．圆柱
【答案】 C
【解析】 按直角边旋转可得如图①所示的圆锥；如果绕斜边旋转可得如图②所示的两个圆锥的组合体．故选C.
3.如图所示的平面中四边形部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个圆柱挖去一个圆锥
C．一个圆柱
D．一个圆柱和一个圆锥的组合体
【答案】 D
4．用一个平面截半径为25 cm的球，截面的面积是225π cm2，则球心到截面的距离为( )
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．20 cm
【答案】 D
【解析】 由题意知，球的半径R＝25 cm，易知截面的半径r＝15 cm，则球心到截面的距离d＝＝20(cm)．
5．(多选)用一个平面去截一个圆台，得到的图形可能是( )
A．矩形 B．圆
C．梯形 D．三角形
【答案】 BC
【解析】 根据圆台的结构特征，用一个平行底面的平面截圆台可得圆，当平面与圆台轴所在直线平行或经过轴所在直线时，可得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，故选BC.
6．(多选)下列关于圆柱的说法中正确的是( )
A．圆柱的所有母线长都相等
B．过圆柱底面圆周上一点A作该圆柱的母线，有且只有一条
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱
【答案】 ABD
【解析】 圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，所以A正确；由圆柱的结构特征可知，过底面圆周上任意一点都可作一条母线，且只有一条，所以B正确；用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分或矩形，所以C错误；一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，所以D正确．故选ABD.
7．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．
①棱柱 ②棱锥 ③棱台 ④圆柱 ⑤圆锥
⑥圆台 ⑦球
【答案】 ①②③⑤
【解析】 可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．
8．轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，则该等边圆柱的底面周长为________cm.
【答案】 4π
【解析】 如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.轴截面ABCD的面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16(cm2)，解得r＝2 cm.故该等边圆柱的底面周长C＝2πr＝4π(cm)．
9．两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中轴截面的面积为________cm2.
【答案】 24
【解析】 当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm，底面半径为4 cm，其轴截面的面积为3×8＝24 cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm，底面半径为3 cm，其轴截面的面积为4×6＝24 cm2.
10．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
【解析】 如图圆锥SO的轴截面为SAB，底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.
在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm)．
SA＝＝＝(cm)．
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)．
所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2.
B组·综合运用
11．将一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为( )
A．3 cm B．9 cm
C．12 cm D．6 cm
【答案】 B
【解析】 设圆台的母线长为x cm，由已知可得＝，解得x＝9.故选B.
12．如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形
D．其他等腰三角形
【答案】 A
【解析】 因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为，母线长也为，所以此圆锥的轴截面是等边三角形．
13．如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的半径为________.
【答案】 2
【解析】 根据题意，画出图形，则OA＝R，O′A＝r＝，OO′＝＝1，故在Rt△OO′A中，OA＝＝＝2，∴R＝2.
C组·拓展提升
14．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l＜R)并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．
【解析】 轴截面如图．
被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径O1D设为x.
∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形．
又CD∥OA，则CD＝BC.∴x＝l.
∴截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)(l＜R)．
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