第八章 8.2
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A组·基础巩固
1．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB中OA边上的高等于( )
A．4 B．2
C．2 D．
【答案】 A
【解析】 由题意可知，OA⊥OB，且OB＝2O′B′＝4，即OA边上的高为4.故选A.
2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
【答案】 C
【解析】 根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
3．如图，已知等腰三角形ABC，则下图所示的四个图形中，可能是△ABC的直观图的是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
【答案】 D
【解析】 当∠x′O′y′＝135°时，其直观图是③；当∠x′O′y′＝45°时，其直观图是④.
4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为( )
A．4＋4 B．4＋4
C．8 D．8
【答案】 B
【解析】 由题可知O′D′＝A′D′＝2，∠A′O′D′＝45°，∴O′A′＝2，还原直观图可得原平面图形，如图，则OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2，AB＝DC＝2，∴AD＝＝＝2，∴原平面图形的周长为4＋4.故选B.
5．(多选)已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为( )
A．16 B．64
C．32 D．无法确定
【答案】 AB
【解析】 根据题意，正方形的直观图如图所示．①若直观图中平行四边形的边A′B′＝4，则原正方形的边长为AB＝A′B′＝4，所以该正方形的面积为S＝4×4＝16；②若直观图中平行四边形的边A′D′＝4，则原正方形的边长为AD＝2A′D′＝8，所以该正方形的面积为S＝8×8＝64，故选AB.
6．(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，下列描述正确的是( )
A．正方形的直观图是平行四边形
B．梯形的直观图是梯形
C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，线段的中点在直观图中依然是中点
D．用斜二测画法画平面图形的直观图时，锐角在直观图中依然是锐角
【答案】 ABC
【解析】 根据直观图的画法中平行性保持不变，且平行线段的长度比不变，故A、B、C正确；若锐角△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,0)，B(2,0)，C(1,4)，在直观图中这三个顶点对应的原坐标系的坐标分别为A′(0,0)，B′(2,0)，C′(3,2)，此时△A′B′C′为钝角三角形，故D项错误．故选ABC.
7．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.
【答案】 (4,2)
【解析】 由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．
8．如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
【答案】
【解析】 画出直观图(图略)，则B′到x′轴的距离为×OA＝OA＝.
9．如图，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的直观图，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2，则原平面图形的实际面积是________.
【答案】 20
【解析】 由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是直角梯形，且AB，CD的长度不变，仍为6和4，高BC＝4，故所求面积S＝×(4＋6)×4＝20.
10.如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm.
(1)画出水平放置的△ABC的直观图；
(2)求直观图的面积．
【解析】 (1)①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图(1)，
②画出对应的x′，y′轴，使∠x′D′y′＝45°，
在x′轴上取点A′，C′，使D′A′＝DA，D′C′＝DC，
在y′轴上取点B′，使D′B′＝DB，
连接A′B′，C′B′，则△A′B′C′即为△ABC的直观图，如图(2)．
(2)在图(2)中，作B′E⊥A′C′，E为垂足，
∵D′B′＝DB＝6，∠B′D′E＝45°，
∴B′E＝6×＝3，
∴S△A′B′C′＝×A′C′×B′E＝×12×3＝18(cm2)．
B组·综合运用
11．如图是利用斜二测画法画出的Rt△ABO的直观图，已知A′B′∥O′y′，O′B′＝4，且△ABO的面积为16，过点A′作A′C′⊥x′轴于点C′，则A′C′的长为( )
A．2 B．
C．16 D．1
【答案】 A
【解析】 由直观图可知△ABO为直角三角形且AB⊥BO，OB＝4，S△ABO＝×4×AB＝16，∴AB＝8，∴A′B′＝4，∴A′C′＝4×＝2.
12．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
【答案】 D
【解析】 设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2S直观图，所以×OB×h＝2××2×O′B′.又OB＝O′B′，所以h＝4.
13．一个菱形的边长为4 cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为________cm2.
【答案】 2
【解析】 由条件可知，较长的对角线的长度是＝4(cm)，较短的对角线的长度是＝4(cm)，根据斜二测画法的规则可知，AC＝4，BD＝2，菱形直观图的面积S＝×4×2×＝2(cm2)．
C组·拓展提升
14．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
【解析】 画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形，如图所示．
易知四边形ABCD为平行四边形．
∵AD＝2，AC＝，
∴S ABCD＝2×＝2，即原图形的面积为2.
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第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
新课程标准解读 学科核心素养
了解斜二测画法的概念，掌握斜二测画法的步骤. 数学抽象
会用斜二测画法画水平放置的平面图形、柱、锥、台以及简单组合体的直观图. 直观想象
会根据斜二测画法规则进行相关运算. 直观想象、数学运算
教材梳理 明要点
图中的国家游泳中心(又称“水立方”)可以抽象成一个几何体——长方体．
问题
你能画出一个长方体吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
因为长方体是立体的，所以我们只能画出我们能看到的面．
知识点一 水平放置的平面图形的直观图的画法
1．直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．
?新知初探
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
[提醒1]
[提醒1]
对斜二测画法的再理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，即y′轴是斜的，反映投影线是斜的；②“二测”：平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”．
知识点二 空间几何体直观图的画法
1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
2．画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．
3．画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
4．成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
[提醒2]
[提醒2]
画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感．
1．判断
(1)相等的角在直观图中仍然相等．( )
(2)垂直的线段在直观图中仍然垂直．( )
(3)菱形的直观图仍然是菱形．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
【解析】 (1)相等的角在直观图中不一定相等，如直角梯形的两个直角．
(2)垂直的线段在直观图中可能成45°的角．
(3)菱形的直观图是平行四边形．
?预习自测
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是( )
【答案】 C
【解析】 正方形的直观图应为平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
题型探究 提技能
1.用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．
题型一
平面图形的直观图的画法
【解析】 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系．
[方法总结1]
[方法总结1]
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
１
用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
【解析】 过点A作AO⊥CD，建立平面直角坐标系如图，作BF⊥x轴，EG⊥x轴，垂足分别为F，G，
(1)作坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；
(2)在x′轴上取点C′，D′，F′，G′使O′C′＝OC，O′D′＝OD，O′F′＝OF，O′G′＝OG；
(5)擦去辅助线，所得五边形A′B′C′D′E′就是五边形ABCDE的直观图．
2.用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
题型二
空间几何体的直观图的画法
【解析】 (1)画轴．如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
[方法总结2]
[方法总结2]
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直；
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变；
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半；
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
2
画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
【解析】 (1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度等于四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
3.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________，其面积为________cm2.
题型三
直观图的还原与计算
[通性通法]
[通性通法]
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可；
2．直观图与原图形面积之间的关系
3
(1)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
(2)已知等边△ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形．
随堂检测 重反馈
1．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且长度为10 cm
B．平行于z′轴且长度为5 cm
C．与z′轴成45°且长度为10 cm
D．与z′轴成45°且长度为5 cm
【答案】 A
【解析】 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.
2．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图形是( )
【答案】 A
【解析】 根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故选A.
3．(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是( )
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【答案】 AB
【解析】 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
4．如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________.
【答案】 16
