第八章 8.3 8.3.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为( )
A．3a2 B．2a2
C．a2 D．4a2
【答案】 C
【解析】 S＝4××a2＝a2.
2．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为( )
A． B．1
C． D．
【答案】 B
【解析】 依题意，正三棱台的高h＝＝1.
3．若正四棱台的上、下底面边长分别为1,2，高为2，则该正四棱台的体积为( )
A. B．
C. D．14
【答案】 C
【解析】 V＝(S＋S′＋)h＝×(1＋4＋)×2＝.故选C.
4.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.正四棱锥P－EFGH的高为，EF＝2，AE＝1，则该组合体的表面积为( )
A．20 B．4＋12
C．16 D．4＋8
【答案】 A
【解析】 由题意，正四棱锥P－EFGH的斜高为＝2，该组合体的表面积为2×2＋4×2×1＋4××2×2＝20.
5.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为2，若盆中积水深为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 根据题意可知，这个刍童为棱台，如图为垂直底面的截面，则棱台的高为2，若盆中积水深为池盆高度的一半，则上水面的边长为4，水的高度为1，所以该盆中积水的体积为×(16＋4＋)×1＝.故选B.
6．(多选)已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是( )
A．正三棱锥高为3
B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的侧面积为
【答案】 ABD
【解析】 如图所示，设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×3×＝，故PE＝＝3，故A、B正确；正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确．故选ABD.
7．如图，三棱柱ABC－A′B′C′的体积为1，则四棱锥C－AA′B′B的体积是________.
【答案】
【解析】 ∵V三棱锥C－A′B′C′＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝，∴V四棱锥C－AA′B′B＝1－＝.
8．正四棱台的上、下底面边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________cm2.
【答案】 1 012
【解析】 易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12，所以正四棱台的表面积S＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm2)．
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.
【答案】
【解析】 S△DD1E＝DD1×1＝，又点F到△DD1E的距离为1，所以VD1－EDF＝VF－D1DE＝S△DD1E×1＝.
10．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．
【解析】 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝2＋2＝＝＝64，
∴AB＝8，
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.
直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20.
直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.
B组·综合运用
11．已知长方体的高为2，底面积等于12，若过不相邻的两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为( )
A．12 B．24
C．28 D．32
【答案】 C
【解析】 设长方体底面的矩形相邻两边长分别为x，y，则解得或故S侧＝Ch＝(2×3＋2×4)×2＝28.
12．现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A． B．2
C． D．
【答案】 D
【解析】 设正三棱柱的底面积为S，则V正三棱柱ABC－A1B1C1＝3S.∵E，F，F1，E1分别为其所在棱的中点，∴＝，即S△AFE＝S，∴S四边形BCFE＝S，∴V水＝S×3＝S，∴图甲中水面的高度为.故选D.
13.如图，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，则该多面体的体积为________.
【答案】 20
【解析】 如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
C组·拓展提升
14.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，依次连接正方体相邻面的中心，组成一个正八面体，则该正八面体的体积与正方体的体积之比为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 设正方体的棱长为1，则正八面体的棱长为＝，高为1，所以正八面体的体积V＝×2×1＝，而正方体的体积为1，所以该正八面体的体积与正方体的体积之比为.故选C.
15．如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．
【解析】 (1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.
又梯形ABB1A1的高h′＝＝4(cm)，
∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)，
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)(cm2)．
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第八章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
新课程标准解读 学科核心素养
会求棱柱、棱锥、棱台的表面积. 直观想象、数学运算
能利用棱柱、棱锥、棱台的体积公式求体积，理解它们之间的关系. 直观想象、数学运算
能用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决简单的实际问题. 数学运算
教材梳理 明要点
胡夫金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现高已降至136.5米，塔的底角为51°52′.假如把建造金字塔的石块凿成均等的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大．
问题
如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？如何计算建此金字塔需用多少石块？
?情境导入
[提示]
[提示]
要计算保护液的使用量需要知道金字塔的表面积，要计算建造金字塔需要多少石块，需要计算金字塔的体积．
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体_________的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的_________的面积的和．
想一想
棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？
提示：都相等．
?新知初探
各个面
各个面
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝____.
棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝______.
想一想
等底等高的棱柱和棱锥的体积有什么关系？
提示：V棱柱＝3V棱锥．
Sh
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
【答案】 B
【解析】 V长方体＝3×4×5＝60(cm3)．
?预习自测
2．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
【答案】 B
3．正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为_____，表面积为______.
题型探究 提技能
题型一
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
[方法总结1]
[方法总结1]
1．求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别；
2．棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．
１
题型二
棱柱、棱锥、棱台的体积
[方法总结2]
[方法总结2]
求棱柱、棱锥、棱台的体积的方法
(1)直接法：求几何体的体积首先要明确几何体的形状，确定要使用的公式，然后求得几何体的底面积与高，最后直接代入公式即可；
(2)间接法：间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与体积易求的几何体结合起来，将待求几何体的体积转化为两个或多个易求几何体的体积的和或差．
2
正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．
【解析】 正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高．
设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，O1E1，OE，则四边形EOO1E1为直角梯形．
3.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积．
题型三
简单组合体的表面积和体积
[方法总结3]
[方法总结3]
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式．对于与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的每个面是什么多边形，再利用相应多边形的面积公式求得面积．
3
一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要约多少立方米的混凝土？(钢筋体积忽略不计，结果精确到0.01立方米)．
随堂检测 重反馈
【答案】 B
2．在我国瓷器的历史上，六棱柱形的瓷器非常常见．已知有一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7 cm，底面边长为7 cm(数据为笔筒的外观数据)，现想用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要的绒布的面积为( )
A．120 cm2 B．162.7 cm2
C．785.4 cm2 D．1 570.8 cm2
【答案】 C
【解析】 由题意得，正六棱柱的侧面积为6×7×18.7＝785.4(cm2)，
所以至少需要的绒布的面积为785.4 cm2，故选C.
A．6 B．12
C．24 D．48
【答案】 D
4．由华裔建筑师贝聿铭设计的卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥(底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥)，四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 m，底宽34 m，求该金字塔的体积．
