第八章 8.1 第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下面图形中为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
【答案】 C
【解析】 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②④是棱锥，③不是棱锥．故选C.
2．下列关于棱柱的说法错误的是( )
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
【答案】 C
【解析】 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误，D正确．
3．下列说法正确的是( )
A．棱台的两个底面相似
B．棱台的侧棱长都相等
C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
【答案】 A
【解析】 由棱台的定义知A正确，B、C不正确；棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确．
4．如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．四棱柱
D．平行六面体
【答案】 B
【解析】 由展开图可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面，故该几何体为四棱锥．故选B.
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．正三棱锥就是正四面体
B．底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【答案】 BD
【解析】 正四面体是正三棱锥，但正三棱锥不一定就是正四面体，A错误；根据正棱锥的概念知，B正确；六棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，D正确．
6．(多选)关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是( )
A．任何棱柱的两个底面都全等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上底面和下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
【答案】 ACD
【解析】 根据棱柱的几何性质可得，棱柱的两个底面都全等，故选项A正确；根据棱锥的定义可知，只有正棱锥的侧棱长都相等，故选项B错误；根据棱台的定义可知，棱台的上底面和下底面是相似多边形，有的棱台的侧棱长都相等，故选项C、D正确．故选ACD.
7．一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
【答案】 12
【解析】 因为此正棱锥有6个顶点，所以此正棱锥为正五棱锥．又正棱锥的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm，可知每条侧棱长为12 cm.
8．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________(填序号)．
①三角形 ②四边形 ③五边形 ④不可能为四边形
【答案】 ①②
【解析】 按如图(1)所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图(2)所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
9．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则BD1的长为________.
【答案】 5
【解析】 依题意得，BD＝AB2＋AD2＋AA＝32＋42＋52＝50，∴BD1＝5.
10.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的面积为多少？
【解析】 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝a2.
B组·综合运用
11．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是( )
A．P?N?M?Q B．Q?M?N?P
C．P?M?N?Q D．Q?N?M?P
【答案】 B
【解析】 根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}?{正四棱柱}?{长方体}?{直四棱柱}，故选B.
12．如图，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC后剩余的部分是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
【答案】 B
【解析】 剩余部分是四棱锥A′－BCC′B′.故选B.
13．在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
【答案】 10
【解析】 如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．
C组·拓展提升
14．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【答案】 C
【解析】 ≠，故A不符合题意；≠，故B不符合题意；＝＝，故C符合题意；对于D，满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台．故选C.
15．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
【解析】 (1)如图①所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图②所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一)．
(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)．
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第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第一课时 棱柱、棱锥、棱台
新课程标准解读 学科核心素养
利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 直观想象
能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 数学抽象
教材梳理 明要点
观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧．小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美．
?情境导入
问题
观察上述家居装饰和建筑物物体，它们有什么特点？
[提示]
[提示]
可以发现，以上物体有相同的特点，围成它们的每个面都是平面或曲面．
知识点一 空间几何体
1．空间几何体：如果只考虑物体的_______和_______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
2．多面体：由若干个_____________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的_____；两个面的_________叫做多面体的棱；棱与棱的_________叫做多面体的顶点．
3．旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定____
旋转所形成的_______叫做旋转面，封闭的旋转面围成的_________叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的_____.
?新知初探
形状
大小
平面多边形
面
公共边
公共点
直线
曲面
几何体
轴
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱柱 有两个面互相____，其余各面都是______
______，并且相邻两个四边形的公共边都________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
记作：棱柱
ABCDEF－
A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相______的面；
侧面：除底面外，其余各面；
侧棱：相邻侧面的________；
顶点：侧面与底面的________ 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
平行
四边
形
互相平行
平行
公共边
公共顶点
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱锥 有一个面是____
____，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
记作：棱锥
S－ABCD 底面(底)：多边形面；
侧面：有公共顶点的各个三角形面；
侧棱：相邻侧面的________；
顶点：各侧面的___
_______ 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
多边
形
三角形
公共边
公
共顶点
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱台 用一个____
__________的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的______；
下底面：原棱锥的______；
侧面：除上、下底面外，其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 正棱台：由正棱锥截得的棱台
[提醒]
平行
于棱锥底面
截面
底面
[提醒]
(1)棱柱、棱锥、棱台的关系(以三棱柱、
三棱锥、三棱台为例)
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
1．下面四个几何体中，是棱台的是( )
【答案】 C
?预习自测
2．下列棱锥有6个面的是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
【答案】 C
【解析】 由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面．故选C.
3．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．
【答案】 ①③④ ⑥ ⑤
题型探究 提技能
1.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
题型一
棱柱的结构特征
【解析】 (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．
(2)是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
[方法总结1]
[方法总结1]
棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是紧扣棱柱的定义：①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行且全等的面作为底面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行；
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
１
(多选)下列关于棱柱的说法正确的有( )
A．所有的面都是平行四边形
B．每一个面都不会是三角形
C．两底面平行，并且各侧棱也平行
D．被平面截成的两部分可以都是棱柱
【答案】 CD
【解析】 棱柱的底面不一定是平行四边形，A错误；棱柱的底面可以是三角形，B错误；由棱柱的定义易知，C正确；棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，D正确．
【答案】 AB
题型二
棱锥的结构特征
【解析】 由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误．
[方法总结2]
[方法总结2]
棱锥的结构特征
(1)有一个面是多边形；
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
2
下列说法①有一个面是正方形，其余各面都是具有公共顶点且全等的四个等腰三角形的几何体是正四棱锥；②正棱锥的侧面是等边三角形；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；其中正确的是________(填序号)．
【答案】 ①
【解析】 ①中说法正确，由棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．由定义知，该几何体为四棱锥，又因底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形，则各侧棱长相等，顶点在底面上的投影为正方形的中心，故该棱锥为正四棱锥；②中说法错误，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形；③中说法错误，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．
【答案】 D
题型三
棱台的结构特征
【解析】 A中的平面不一定平行于底面，故A错误；由棱台的定义知，D正确；B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误．
[方法总结3]
[通性通法]
判断棱台形状的两个方法
(1)举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确；
(2)直接法：①定底面，两个互相平行的面，即为底面(两多边形相似)；②看侧棱，延长后相交于一点．
3
下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确的是________(填序号)．
【答案】 ①②
【解析】 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
随堂检测 重反馈
1．下列几何体中，面的个数最少的是( )
A．四面体 B．四棱锥
C．四棱柱 D．四棱台
【答案】 A
【解析】 四面体有4个面，四棱锥有5个面，四棱柱和四棱台有6个面．故选A.
2．有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
【答案】 B
【解析】 根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥．
3．(多选)下列四个命题中错误的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱柱的侧棱与底面一定垂直
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
【答案】 ABC
【解析】 棱柱的底面可以是任意平面多边形，A、B错误；棱柱的侧棱与底面不一定垂直，如斜棱柱，C错误；棱柱被平行于底面的平面分成两个棱柱，D正确．故选ABC.
4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
【答案】 12
5．如图中的几何体叫做________(填“棱柱”“棱锥”“棱台”)，PA，PB是它的________，△PBC，△PCD是它的________，四边形ABCD是它的________.
【答案】 棱锥 侧棱 侧面 底面
