(共37张PPT)
第八章 立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
新课程标准解读 学科核心素养
了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 直观想象
能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. 直观想象
理解三个基本事实及其推论，能利用三个基本事实及其推论解决相关问题. 直观想象、逻辑推理
教材梳理 明要点
问题
生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等．
知识点一 平面的画法与表示
1．平面的画法
?新知初探
画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向
图示
2.平面的表示方法
(1)用希腊字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；
(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD；
(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD.
[提醒]
[提醒]
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；
(2)平面无厚薄、无大小，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分．
知识点二 点、直线、平面之间的基本关系的符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上 _________
点A在直线l外 _________
点A在平面α内 __________
点A在平面α外 _________
直线l在平面α内 _________
直线l在平面α外 _________
平面α，β相交于l _________
[知识点总结]
A∈l
A l
A∈α
A α
l α
l α
α∩β＝l
[知识点总结]
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示．
知识点三 平面的基本事实及推论
1．与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本
事实1 过________________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
不在一条直线上
基本事实 内容 图形 符号
基本
事实2 如果一条直线上的____
____在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本
事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条______
___________ ___________，且__________ α∩β＝l，且P∈l
两个
点
过该点
的公共直线
P∈α
P∈β
2.基本事实1、2的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
想一想
1．如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？
提示：这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，基本事实1强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性．
2．两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？
提示：不可能．要么没有公共点，要么有无数个公共点．
3．如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？
提示：这些公共点落在同一条直线上．
1．能确定一个平面的条件是( )
A．三个点
B．任意不重合的两条直线
C．无数个点
D．两条相交直线
【答案】 D
?预习自测
2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
【答案】 A
【解析】 表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.
3．若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作_________.
【答案】 Q∈b α
【解析】 因为点Q(元素)在直线b(集合)上，所以Q∈b.又因为直线b(集合)在平面α(集合)内，所以b α.
题型探究 提技能
1.用符号表示下列语句，并画出图形：
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
【解析】 (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图1.
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图2.
题型一
立体几何三种语言的相互转化
[方法总结1][提醒]
[方法总结1]
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
[提醒]
根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
１
画图表示下列语句(其中P，M表示点，l，m表示直线，α，β表示平面)：
(1)P∈l，P α，l∩α＝M；
(2)α∩β＝m，P∈α，P m；
(3)P∈α，P∈β，α∩β＝m.
【解析】 如图所示．
2.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．
题型二
点、线共面问题
【证明】 证法一(辅助平面法)：因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内．
因为a∥c，所以直线a，c确定一个平面β.
因为C∈c，c β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内．
由推论1，可得平面α和平面β重合，则c α.
所以a，b，c，l共面．
证法二(纳入平面法)：因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内．
同理可证c在a，l确定的平面内．
因为过a与l只能确定一个平面，
所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面．
[方法总结2]
[方法总结2]
证明点、线共面的方法
证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：
(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合；
(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内．
2
已知A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图．求证：直线AD，BD，CD共面．
【证明】 因为D l，所以l与D可以确定平面α.
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD α.
同理，BD α，CD α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．
3.如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
题型三
点共线问题
【证明】 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，
故P，Q，R三点共线．
证法二：∵AP∩AQ＝A，
∴直线AP与直线AQ确定平面APQ.
又AB∩α＝P，AC∩α＝Q，∴平面APQ∩α＝PQ.
∵B∈平面APQ，C∈平面APQ，∴BC 平面APQ.
∵R∈BC，∴R∈平面APQ，又R∈α，∴R∈PQ，
故P，Q，R三点共线．
[通性通法]
[通性通法]
证明点共线的方法
证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法：
(1)先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上；
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．
3
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交平面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上．
【证明】 因为O1∈平面AB1D1，O1∈平面AA1C1C，
A∈平面AB1D1，A∈平面AA1C1C，
所以平面AB1D1∩平面AA1C1C＝AO1.
又因为A1C∩平面AB1D1＝P，所以P∈直线A1C，P∈平面AB1D1，
所以P∈平面AA1C1C，所以P∈直线AO1，即O1，P，A三点在同一条直线上．
题型四
线共点问题
【证明】 若EF，GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF 平面ABD，GH 平面CBD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
又因为平面ABD∩平面CBD＝BD，
由基本事实3可得P∈BD.
[方法总结3]
[方法总结3]
证明三线共点的方法
证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合基本事实3，证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．
4
三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．
【证明】 如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ.
∵直线a和b不平行，∴a，b必相交．
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a β，b α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c.
故a，b，c三条直线必相交于同一点．
随堂检测 重反馈
1．若一直线a在平面α内，则正确的作图是( )
【答案】 A
【解析】 B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交．
2．下列关于点、线和面的关系表示错误的是( )
A．点A 平面α
B．直线l∩平面α＝点A
C．直线l 平面α
D．平面α∩平面β＝直线m
【答案】 A
【解析】 根据点、线、面的关系的符号表示，可知A错误，应改为点A∈平面α；B、C、D正确．故选A.
3．交于一点的三条不同直线可以确定平面的个数是( )
A．三个 B．两个
C．一个或两个 D．一个或三个
【答案】 D
【解析】 如图，a，b，c是三条不同的直线，a∩b＝P，a，b确定平面α，且点P∈c，若c在平面α内，则直线a，b，c确定一个平面，若c不在平面α内，则直线a，c确定一个平面，b，c确定一个平面，于是得直线a，b，c确定三个平面，所以交于一点的三条直线可以确定平面的个数是一个或三个．故选D.
4．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.
【答案】 共线
【解析】 如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．第八章 8.4 8.4.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列命题中真命题的个数是( )
①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形 ③四边相等的四边形是平面图形 ④圆是平面图形
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 B
【解析】 在①中，由不共线的三点确定一个平面，得三角形是一个平面图形，故①为真命题；在②③中，若这四条边不在同一平面内，例如空间四边形，则该四边形则不是平面图形，∴②③为假命题；在④中，圆是平面图形，∴④为真命题．故选B.
2．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
【答案】 A
【解析】 由图可知平面α，β相交于直线m，直线n在平面α内，两直线m，n交于点A，所以用符号语言可表示为α∩β＝m，n α，m∩n＝A，故选A.
3．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面上”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 由推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，可得若P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上，则P1，P2，P3，P4在同一个平面上，故充分性成立；由推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面，可得当P1∈l1，P2∈l1，P3∈l2，P4∈l2，l1∥l2时，P1，P2，P3，P4在同一个平面上，但P1，P2，P3，P4中无三点共线，故必要性不成立．故选A.
4．如图所示，平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l＝R.设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ＝( )
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．以上均不正确
【答案】 C
【解析】 ∵AB∩l＝R，平面α∩平面β＝l，∴R∈l，l β，R∈AB，∴R∈β.又∵A，B，C三点确定的平面为γ，∴C∈γ，AB γ，∴R∈γ.又∵C∈β，∴C，R是平面β和γ的公共点，∴β∩γ＝CR.故选C.
5．(多选)下列命题中正确的有( )
A．一条直线和一个点可以确定一个平面
B．经过两条相交直线，有且只有一个平面
C．经过两条平行直线，有且只有一个平面
D．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点一定在两个平面的交线上
【答案】 BCD
【解析】 对于A选项，当这个点在直线上时，无法确定一个平面，故A错误；对于B、C选项，均为基本事实1的推论，故B、C正确；对于D选项，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故D正确．故选BCD.
6．(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
【答案】 ABD
【解析】 由基本事实2可知，a β，A正确；∵M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事实2可知，直线MN α，MN β，∴α∩β＝MN，B正确；∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A，C错误；∵A，B，M不共线，由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合，D正确．故选ABD.
7．互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定________个平面．
【答案】 6
【解析】 当四条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，如正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个平面．
8．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成________部分．
【答案】 21
【解析】 三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7＝21部分．
9．如图，在四面体A－BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K，则M，N，K三点的位置关系是________.
【答案】 共线
【解析】 因为M∈PQ，直线PQ 平面PQR，M∈BC，直线BC 平面BCD，所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，所以M在平面PQR与平面BCD的交线上．同理可证，N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上．所以M，N，K三点共线．
10．若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线．
【解析】 ∵α∩β＝l，A，B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长BA交l于D，则D∈平面ABC，D∈β，
∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图示如图．
B组·综合运用
11．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
【答案】 B
【解析】 如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确．
12．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是( )
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
【答案】 ABC
【解析】 在题图中，连接A1C1，AC(图略)，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C均正确，D不正确．
13．如图，在三棱锥A－BCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝________.
【答案】 m
【解析】 如图，连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，连接MN，EF，∴BE＝EC，CF＝FD，∴EF＝BD＝m，又∵AM＝AE，AN＝AF，∴MN＝EF＝m.
14．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
【证明】 因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，所以AB∩CD＝P.
所以AB，CD可以确定一个平面，设为β.
因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
所以AC β，BD β，平面α，β相交．
因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
所以P，Q，R都在平面α与平面β的交线上，故P，Q，R三点共线．
C组·拓展提升
15．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别是线段BB1，A1C1的中点，若直线B1C1∩平面AMN＝Q，则＝( )
A． B．2
C． D．3
【答案】 A
【解析】 如图，延长AN，CC1交于点P，连接PM交B1C1于点Q，则＝＝＝，故选A.
16．定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P 直线AB，P α，若直线AP，BP与平面α分别相交于A′，B′.试问，如果点P任意移动，直线A′B′是否恒过一定点？请说明理由．
【解析】 随着点P移动，直线A′B′恒过定点O.理由如下：
由直线AB和直线外一点P可确定平面β，
因为AP∩α＝A′，BP∩α＝B′，
所以α∩β＝A′B′，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.
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