(共33张PPT)
第八章 立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
新课程标准解读 学科核心素养
了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义. 直观想象
了解直线与平面间的位置关系，能判断它们间的位置关系. 直观想象、逻辑推理
了解平面与平面间的位置关系，能判断它们间的位置关系. 直观想象、逻辑推理
教材梳理 明要点
在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间中，情况就不同了．例如，如图所示，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行．
?情境导入
问题
你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？
[提示]
可能平行、相交或异面．
[提示]
知识点一 空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线
(1)定义：不同在___________平面内的两条直线；
(2)异面直线的画法．
?新知初探
任何一个
2．空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交直线 在同一平面内，_____________公共点
平行直线 在同一平面内，_______公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，_____公共点
有且只有一个
没有
没有
想一想
分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．分别在两个平面内的直线，既可能是平行直线，也可能是相交直线，还可能是异面直线．
知识点二 直线与平面、平面与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在
平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
2.两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
想一想
1．直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点，正确吗？
提示：不正确，当直线a与平面α相交时，有一个公共点，也称为直线a在平面α外．
2．观察如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1，线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？
提示：直线A1B在平面ABB1A1内，与平面CDD1C1平行，与其余四个面相交．
判断
(1)若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．( )
(2)若一条直线不在一个平面内，则这条直线一定和这个平面平行．( )
(3)若直线l上有无数个点都在平面α外，则直线l与平面α平行．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
【解析】 (1)这两条直线平行或异面．
(2)这条直线可能和平面相交．
(3)直线l与平面α相交或平行．
?预习自测
题型探究 提技能
【答案】 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
题型一
直线与直线位置关系的判断
【解析】 (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC.
∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
[方法总结1]
[方法总结1]
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线；
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交；
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线(如图)．
１
已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线．证明直线AC与BD也是异面直线．
【证明】 证法一：因为直线AB与CD是两条异面直
线，所以C 平面ABD，因为A∈平面ABD，A BD，BD
平面ABD，所以AC与BD是异面直线．
证法二：假设AC和BD不是异面直线，则AC与BD在同
一平面内，所以A，C，B，D四点在同一平面内，所以AB，CD就分别有两个点在这个平面内，则AB，CD在这个平面内，所以AB与CD不是异面直线，这与已知条件产生矛盾，所以AC和BD是异面直线．
【答案】 A
题型二
直线与平面位置关系的判断
【解析】 直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，故①说法错误；∵直线a∥b，b 平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，故②说法错误；当a α时，α内也存在无数条直线与直线a平行，故③说法错误．
[方法总结2]
[方法总结2]
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法；
2
若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是( )
A．b∥α
B．b与α相交
C．b α
D．以上三种情况都有可能
【答案】 D
【解析】 若a，b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得，b∥α，或b α，或b与α相交．
3.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
【答案】 C
【解析】 如图所示，a α，b β，a∥b.由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．
题型三
平面与平面位置关系的判断
[母体探究]
变式：(变条件)本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
【解析】 如图，a α，b β，a，b异面．由图知这两个平面可能平行，也可能相交．
[方法总结3]
[方法总结3]
1．平面与平面位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面与平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．
3
(多选)以下四个命题中正确的有( )
A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
【答案】 CD
【解析】 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以A、B错误．
随堂检测 重反馈
1．在空间中，互相平行的两条直线是指( )
A．在空间没有公共点的两条直线
B．分别在两个平面内的两条直线
C．分别在两个平面内，但没有公共点的两条直线
D．在同一平面内没有公共点的两条直线
【答案】 D
【解析】 由平行线的定义可知D正确．
2．已知直线a∥平面α，直线b 平面α，则( )
A．a∥b
B．a与b异面
C．a与b相交
D．a与b无公共点
【答案】 D
【解析】 因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，而直线b 平面α，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．故选D.
3．若平面α∥平面β，a α，b β，则直线a和b的位置关系是________.
【答案】 平行或异面
【解析】 因为平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a α，b β，于是得直线a和b没有公共点，所以直线a和b是异面直线或是平行直线．
4．已知不重合的直线a，b与平面α，满足a∥α，b∥α，则a与b的位置关系是________.
【答案】 平行、异面或相交
【解析】 如图，在长方体中，a∥α，b∥α，a与b相交，b′∥α，a与b′异面，b″∥α，a与b″平行，故a与b的位置关系有：平行、异面或相交．第八章 8.4 8.4.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知点P，Q，R，S分别是正方体的四条棱的中点，则下列图形中直线PQ与RS是异面直线的是( )
【答案】 C
【解析】 A，B中PQ与RS平行，D中PQ与RS相交．
2．在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1与平面DCC1D1的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．不确定 D．异面
【答案】 A
【解析】 由棱台的定义可知，平面ABB1A1与平面DCC1D1一定相交．故选A.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面内，与棱AA1平行的平面共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【答案】 B
【解析】
如图所示，结合图形可知AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面BB1D1D.
4．三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】 A
【解析】 按照三个平面中平行的个数来分类：
(1)三个平面两两平行，如图①，可将空间分成4个部分；
(2)两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图②，可将空间分成6个部分；
(3)三个平面中没有平行的平面：(ⅰ)三个平面两两相交且交线互相平行，如图③，可将空间分成7个部分；(ⅱ)三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图④，可将空间分成8个部分；(ⅲ)三个平面两两相交且交线重合，如图⑤，可将空间分成6个部分；
综上所述，可以为4,6,7,8个部分，不能为5个部分．
5．(多选)下列说法中正确的是( )
A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交
B．直线l在平面α外是指直线l和平面α平行
C．如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交
D．如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交
【答案】 CD
【解析】 若直线l与平面α不平行，则l与α相交或l α，所以A不正确；若l α，则l∥α或l与α相交，所以B不正确；由平面和直线的位置关系可知，C、D正确．故选CD.
6．(多选)下列结论正确的是( )
A．直线a∥平面α，直线b α，则a∥b
B．若a α，b α，则a，b无公共点
C．若a α，则a∥α或a与α相交
D．若a∩α＝A，则a α
【答案】 CD
【解析】 a和b可以异面，故A错误；若b α则b和α可以相交，故B错误；若直线在平面外，则直线和平面相交或平行，故C正确；若a∩α＝A，说明直线和平面只有一个交点，故D正确．故选CD.
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，所在直线与BD1异面的棱有________条．
【答案】 6
【解析】 由异面直线的定义，正方体ABCD－A1B1C1D1中，所在直线与BD1异面的棱有CD，A1B1，AD，B1C1，AA1，CC1共6条．
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________，直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________.
【答案】 相交 平行
【解析】 在平面AA1D1D中，四边形AA1MD是梯形，且AA1，MD是两腰，则直线MD与直线AA1相交，∴直线MD与平面A1ACC1相交；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C.∵MD 平面AA1D1D，∴MD∥平面BCC1B1.
9．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
【答案】 6
【解析】 如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.
B组·综合运用
10．设A，B，C，D是空间中四个不同的点，则下列命题中是真命题的是( )
A．若AC与BD共面，则AD与BC异面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD∥BC
【答案】 B
【解析】 若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面，故A中命题是假命题；若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线，故B中命题是真命题；若AB＝AC，DB＝DC，则AD不一定等于BC，故C中命题是假命题；若AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC异面或相交，故D中命题是假命题．故选B.
11．(多选)以下四个命题中正确的是( )
A．若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面
B．若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C．若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面
【答案】 AC
【解析】 A显然正确；当α与β相交时，a与b不一定相交，故B不正确；C正确；D的反例：正方体的四条侧棱任意两条都共面，但这四条侧棱却不共面，故选AC.
12．已知点A，B是平面α外的两点，则过点A，B与平面α平行的平面有________个．
【答案】 0或1
【解析】 当A，B两点在平面α两侧时，不存在这样的平面与α平行；当A，B两点在平面α同侧时，若直线AB∥平面α，则存在一个平面与平面α平行，若直线AB与平面α不平行，则不存在与平面α平行的平面．故过点A，B与α平行的平面有0或1个．
13.如图所示，在三棱锥P－ABC中，E是PC的中点，连接AE.求证：AE与PB是异面直线．
【证明】 假设AE与PB共面于平面α，连接BE(图略)．
因为A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE 平面α，所以P∈平面ABE，
这与P 平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．
C组·拓展提升
14．(多选)以下结论中正确的是( )
A．过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行
B．过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行
C．过直线l外一点P，有且仅有一条直线与l平行
D．过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l平行
【答案】 BC
【解析】 如图①所示，过点P有无数条直线与α平行，这无数条直线都在平面β内，过点P有且只有一个平面与α平行，故A错误，B正确；如图②所示，过点P只有一条直线与l平行，但有无数个平面与l平行，故C正确，D错误．
15.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC，DE，AF，BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明．
【解析】 将展开图还原为正方体(如图①)．直线NC与直线DE，直线NC与直线AF，直线NC与直线BM，直线DE与直线AF，直线DE与直线BM，直线AF与直线BM，都是异面直线，共有6对．
以直线NC与直线AF是异面直线为例证明如下：
连接BE交AF于点O(如图②)，因为直线NC 平面BCNE，直线AF∩平面BCNE＝O，O 直线NC，
所以直线NC与直线AF异面．
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