第八章 8.5 8.5.2 第一课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不确定
【答案】 A
【解析】 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．故选A．
2．若直线l不平行于平面α，且l α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的所有直线与l都相交
【答案】 B
【解析】 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l α，故l∥α，这与题意矛盾．
3．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；
②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；
③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；
④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 无数个点不是所有点，①不正确；②中，a与α内的直线平行或异面，②不正确；a∥α或a α，③不正确；易知④正确．故选B.
4．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC－A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
【答案】 D
【解析】 如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条．故选D.
5．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是( )
A．OM∥PD B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
【答案】 ABC
【解析】 由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故D不正确．故选ABC．
6．(多选)如图，在四面体A－BCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.给出下列四个命题中正确的为( )
A．BD∥平面EGHF
B．FH∥平面ABC
C．AC∥平面EGHF
D．直线GE，HF，AC交于一点
【答案】 AD
【解析】 因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD且HG＝BD，又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD且EF＝BD，所以四边形EFHG为梯形，且EF∥GH，又BD 平面EGHF，GH 平面EGHF，所以BD∥平面EGHF，A正确；因为F为AD的中点，H为CD的一个三等分点，所以FH与AC为相交直线，故FH与平面ABC必不平行，AC也不平行平面EGHF，B、C不正确；因为四边形EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，又EG 平面ABC，FH 平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，D正确．故选AD.
7．以下命题中为真命题的是________.(填序号)
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b α，则a平行于平面α内的无数条直线．
【答案】 ③
【解析】 当直线l平行于平面α内的无数条直线时，l∥α或l在平面α内，所以①错误；直线a在平面α外，则a∥α或a与平面α相交，所以②错误；若直线a∥b，b α，则a∥α或a在平面α内，可得a平行于平面α内的无数条直线，所以③正确．
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________.
【答案】 平行
【解析】 连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，OE 平面ACE，BD1 平面ACE，∴BD1∥平面ACE.
9．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件：________时，PC∥平面EBD.
【答案】 E为PA的中点
【解析】 如图，取PA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知EO∥PC．∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，∴PC∥平面EBD.即当E为PA中点时，PC∥平面EBD.
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，CD∥AB，取PA的中点M，BC的中点N，求证：MN∥平面PDC．
【证明】 如图，连接AN并延长，交DC的延长线于点E，连接PE.
因为CD∥AB，N为BC的中点，
所以N为AE的中点．
因为M为PA的中点，
所以MN∥PE.
因为MN 平面PDC，PE 平面PDC，
所以MN∥平面PDC．
B组·综合运用
11．如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论的个数是( )
①AF∥平面BCD ②BE∥平面CDF
③CD∥平面BEF
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】 C
【解析】 由题意得AB∥CF，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC．∵AF 平面BCD，BC 平面BCD，∴AF∥平面BCD，故①正确；取DF的中点G，连接EG，GC(图略)，∵E是AD的中点，∴EG∥AF，EG＝AF，又AF∥BC，∴EG∥BC，EG＝BC，∴BE与CG相交，∴BE与平面CDF相交，故②错误；连接AC，交BF于点O，连接OE(图略)，∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是AC的中点，∴OE∥CD，又OE 平面BEF，CD 平面BEF，∴CD∥平面BEF，故③正确．故选C．
12．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
【答案】 BCD
【解析】 对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ；同理可证，C、D项中均有AB∥平面MNQ，只有A项中AB与平面MNQ不平行．
13．(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中正确的是( )
A．CC1∥平面A1ABB1
B．AF∥平面A1B1C1
C．EF∥平面A1ABB1
D．AE∥平面B1BCC1
【答案】 ABC
【解析】 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1∥AA1，CC1 平面A1ABB1，AA1 平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，A中结论正确；取B1C1的中点D，连接A1D，DF，由题意及基本事实4可知AA1∥DF，∴四边形AFDA1是平行四边形，∴A1D∥AF，∵A1D 平面A1B1C1，AF 平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，B中结论正确；取AB的中点G，连接A1G，GF，∵G，F分别是棱AB，BC的中点，∴GF∥AC，GF＝AC，易知A1E∥AC，且A1E＝AC，∴GF∥A1E，且GF＝A1E，∴四边形GFEA1为平行四边形，∴EF∥A1G.又A1G 平面A1ABB1，EF 平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，C中结论正确；取AC的中点H，连接C1H，易证四边形AHC1E为平行四边形，∴EA∥C1H，C1H与平面B1BCC1相交，∴AE与平面B1BCC1相交，D中结论不正确．
14．(2024·广东惠州高一期中)如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝，求：
(1)正四棱锥S－ABCD的表面积；
(2)若M为SA的中点，求证：SC∥平面BMD.
【解析】 (1)因为SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝，
取CD的中点H，连接SH，
由题意可得SH＝＝＝，
由题意可得S侧面积＝4S△SCD＝4×CD×SH＝2××＝2，
所以正四棱锥的表面积为SS－ABCD＝S侧面积＋S底ABCD＝2＋()2＝2＋2.
(2)证明：设BD与AC交于O，由题意可得O为AC的中点，
连接OM，M为SA的中点，在△SAC中，得OM∥SC，
OM 平面BMD，
SC 平面BMD，
所以SC∥平面BMD.
C组·拓展提升
15．(多选)一几何体的平面展开图如图所示(顶点P在展开图中分别为P1，P2，P3，P4)，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P4B，P1C的中点，关于这个几何体，下列结论正确的是( )
A．直线AE与直线BF异面
B．直线AE与直线DF异面
C．直线EF∥平面PAD
D．直线EF∥平面ABCD
【答案】 ACD
【解析】 如图，将平面展开图还原，显然AE，BF异面，故A正确；易得EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD.又EF 平面PAD，AD 平面PAD，∴EF∥平面PAD，故C正确；易知四边形AEFD为梯形，故B错误；∵EF∥BC，BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故D正确．故选ACD.
16．(2024·四川南充高一阶段检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是BC的中点，∠A1CA＝45°.
(1)求直三棱柱ABC－A1B1C1的体积；
(2)求证：A1C∥平面AB1D；
(3)一只小虫从点A1沿直三棱柱表面爬行到点D，求小虫爬行的最短距离．
【解析】 (1)因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∠A1CA＝45°，
所以四边形A1ACC1为正方形，且AA1＝AC＝2，S△ABC＝AB·AC＝2，
故直三棱柱ABC－A1B1C1的体积VABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝2×2＝4.
(2)证明：连接A1B∩AB1＝E，连接DE，
因为在正方形A1B1BA中，E是A1B的中点，而D是BC的中点，
则ED∥A1C，又A1C 平面AB1D，ED 平面AB1D，
所以A1C∥平面AB1D.
(3)(ⅰ)小虫从点A1沿△A1B1C1爬到点D，把矩形B1C1CB与△A1B1C1置于同一平面内，如图，连接A1D，交B1C1于点O，
因为A1B1＝A1C1＝BB1＝2，D是BC边的中点，所以O是B1C1的中点，A1O＝，
则A1D＝A1O＋OD＝＋2.
(ⅱ)小虫从点A1沿A1B1BA爬到点D，把正方形A1B1BA与△ABC置于同一平面内，或把正方形A1B1BA与矩形B1C1CB置于同一平面内，如图，
①在左图中，取AC中点H，连接DH，显然C、H、A、A1共线，
且DH∥AB，DH＝AB＝1，A1H＝A1A＋AH＝3，DH⊥AC，
所以A1D＝＝＝，
②在右图图中，AD＝AB＋BD＝2＋，
所以A1D＝＝＝>，
(ⅲ)小虫从点A1沿A1C1CA爬到点D，同(ⅱ)中的②，
因为＋2>，故小虫爬行的最短距离为.
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第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
第一课时 直线与平面平行的判定
新课程标准解读 学科核心素养
借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理，并加以证明. 逻辑推理
会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行. 直观想象
教材梳理 明要点
如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？
问题
你能给出判定的依据吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
知识点 直线与平面平行的判定定理
?新知初探
文字语言 如果_________一条直线与此_________的一条直线_______，那么该直线与此平面平行
符号语言 __________________________ a∥α
图形语言
[提醒]
平面外
平面内
平行
a α，b α，且a∥b
[提醒]
线面平行判定定理的实质是线线平行 线面平行．
1．判断
(1)如果一条直线与平面内无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．( )
(2)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.( )
(3)若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面α.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
【解析】 (1)不一定平行，有可能直线在平面内．
(2)l与α也可能相交．
(3)b∥α或b α.
?预习自测
【答案】 l α
【解析】 ①由线面平行的判定定理知l α；②由线面平行的判定定理知l α.
题型探究 提技能
【答案】 D
【解析】 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
题型一
直线与平面平行判定定理的理解
[方法总结1]
[方法总结1]
线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a α；
(2)直线b在平面α内，即b α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
１
如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．在平面α内
D．平行或在平面α内
【答案】 D
【解析】 在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.故选D.
题型二
直线与平面平行的判定
【证明】 取PA的中点N，连接BN，MN，
∴BC∥MN且BC＝MN，
故四边形BCMN为平行四边形，即CM∥BN，
∵CM 平面PAB，BN 平面PAB，
∴CM∥平面PAB.
[方法总结2][提醒]
[方法总结2]
应用判定定理证明线面平行的步骤
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
[提醒]
线面平行判定定理应用的误区：①条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
2
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D.
【证明】 如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形．∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1.
∵OD 平面BC1D，AB1 平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.
随堂检测 重反馈
1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 D
【解析】 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′、平面BC′、平面CD′、平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．故选D.
2．若M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )
A．MN∥β B．MN与β相交或MN β
C．MN∥β或MN β D．MN∥β或MN与β相交或MN β
【答案】 C
【解析】 若平面β是△ABC所在的平面，则MN β.若MN β，则MN∥β.故选C．
A．EF∥平面ABC B．EF 平面ABC
C．EF与平面ABC相交 D．以上都有可能
【答案】 A
4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.
【答案】 平行
【解析】 因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
5．已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个___________.
【答案】①② ③(或①③ ②)
【解析】若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.
