(共32张PPT)
第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
新课程标准解读 学科核心素养
理解并掌握基本事实4，会用其解决相关直线与直线平行问题. 数学抽象、直观想象
理解等角定理，会用其解决角相等或互补问题. 直观想象、逻辑推理
教材梳理 明要点
问题
在生活中，注意到门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，过转动的一边在不同的位置就会有不同的直线．你知道这些直线有怎样的位置关系吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
平行．直线的平行关系具有传递性．
知识点一 基本事实4
平行于同一条直线的两条直线_______.
?新知初探
平行
知识点二 等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_______或_______
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
[提醒]
相等
互补
[提醒]
对等角定理的两点认识：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．
1．判断
(1)分别与异面直线平行的两条直线也是异面直线．( )
(2)相等或互补的角的两边分别平行．( )
(3)如果空间中两条相交直线分别与另外两条相交直线平行，那么这两组直线所形成的锐角(或直角)相等．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
【解析】 (1)也可能是相交直线．
(2)无法判断两条边的位置关系．
(3)由等角定理可知正确．
?预习自测
2.如图所示，在长方体AC1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O，C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
【答案】 B
【解析】 由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，所以符合题意的棱共有4条．
3．已知在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________.
【答案】 平行
题型探究 提技能
题型一
证明直线与直线平行
[方法总结1]
[方法总结1]
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
(2)定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
(3)基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.
１
已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．
题型二
等角定理及应用
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
[方法总结2]
[方法总结2]
关于等角定理的应用
(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行；
(2)根据角的两边的方向判定两角相等或互补．
2
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
求证：(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
【证明】 (1)如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，
因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM
＝C1D1，
所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.
所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
(2)因为D1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.
题型三
利用线线平行判断共面
[方法总结2]
[方法总结3]
根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行．
3
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1．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
【答案】 A
【解析】 ∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A.
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
【答案】 D
【解析】 当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同时，OB与O1B1不一定平行．故选D.
3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________.
【答案】 平行
【解析】 在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC.∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，有BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.
4．空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________.
【答案】 60°或120°
【解析】 因为角α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补，故β＝60°或120°.第八章 8.5 8.5.1
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A组·基础巩固
1．空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交或平行
D．平行或异面或相交均有可能
【答案】 D
【解析】 如图可知AB，CD有平行，异面，相交三种情况，故选D.
2．如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
【答案】 A
【解析】 ∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.
3．在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】 D
【解析】 如图，连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条，故选D.
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l 平面A1B1C1D1，且直线l与直线B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )
A．l与AD平行 B．l与AD不平行
C．l与AC平行 D．l与BD平行
【答案】 A
【解析】 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与直线l与直线B1C1不平行矛盾，所以直线l与直线AD不平行．故选A.
5．(多选)如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则( )
A．PQ＝MN
B．PQ∥MN
C．M，N，P，Q四点共面
D．四边形MNPQ是梯形
【答案】 BCD
【解析】 由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确．
6．(多选)如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论正确的是( )
A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ≠μ时，四边形EFGH是平行四边形
D．当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形
【答案】 AB
【解析】 如图，连接BD.∵＝＝λ，∴EH∥BD，且EH＝λBD，同理，FG∥BD，且FG＝μBD，∴EH∥FG.∴当λ＝μ时，EH＝FG，此时四边形EFGH是平行四边形，∴选项A正确，D不正确；当λ≠μ时，EH≠FG，四边形EFGH是梯形，∴选项B正确，C不正确．
7．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________.
【答案】 ∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
【解析】 因为在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．
8．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
【答案】
【解析】 由＝＝＝，可知AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴＝，∴＝×＝.
9.如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为________.
【答案】 平行
【解析】 由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示．分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，由正方体的结构特征可得EF∥PQ，又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，所以EF∥GH.
10．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
(2)求的值．
【解析】 (1)证明：因为AA′∩BB′＝O，且＝＝，
所以△AOB∽△A′OB′，
所以∠ABO＝∠A′B′O，
所以AB∥A′B′，
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)因为A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
所以△ABC∽△A′B′C′且＝＝，
所以＝2＝.
B组·综合运用
11．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则( )
A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10
C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5
【答案】 A
【解析】 取AD的中点H，连接MH，NH(图略)，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A.
12. (多选)如图，棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1上的一点且A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为( )
A．EF∥D1C
B．EF＝a
C．CF＝a
D．三棱锥A－EFC的体积为a3
【答案】 AD
【解析】 如图，设BF＝2FA，连接EF，A1B，CF，AC，因为A1E＝2EA，所以EF∥A1B.又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故EF＝A1B＝a，CF＝＝a，V三棱锥A－EFC＝V三棱锥E－AFC＝×a××a×a＝a3.因此，A、D正确．
13．如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的序号是________.
①M，N，P，Q四点共面 ②∠QME＝∠CBD
③△BCD∽△MEQ ④四边形MNPQ为梯形
【答案】 ①②③
【解析】 由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.由基本事实4易得MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故①正确；由等角定理，知∠QME＝∠CBD，故②正确；由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠QEM＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故③正确；由三角形的中位线定理及基本事实4知MQ∥BD，MQ＝BD，NP∥BD，NP＝BD，所以MQ∥NP且MQ＝NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故④不正确．
14．如图，正方形ABED，直角梯形EFGD，直角梯形ADGC，AC∥DG∥EF，且DA＝DE＝DG，AC＝EF，EF＝DG.
求证：B，F，G，C四点共面．
【证明】 取DG的中点M，连接AM，FM，
因为EF∥DG，EF＝DG，
所以EF∥DM，EF＝DM.
所以四边形EFMD为平行四边形，
所以FM∥ED，FM＝ED.
因为四边形ABED为正方形，
所以AB∥FM，AB＝FM.所以四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF.
因为AC＝EF＝DG，MG＝DG，AC∥DG，
所以四边形ACGM为平行四边形，所以AM∥CG.
所以BF∥CG，所以B，F，G，C四点共面．
C组·拓展提升
15.如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.
(1)判断MN与BD的位置关系；
(2)求MN的长．
【解析】 (1)MN∥BD.理由如下：连接AM，AN并延长，分别与BC，CD交于点E，F，
由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点，
连接EF，则EF∥BD，且EF＝BD.
又∵点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心，
∴AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1，
∴MN∥EF，且MN＝EF，故MN∥BD.
(2)由(1)知，MN＝EF＝BD＝2.
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