第八章 8.5 8.5.2 第二课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
【答案】 B
【解析】 假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，所以m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾．因为点P在平面α内，所以这条直线也在平面α内．故选B.
2．若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中正确的是( )
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b∥α，则a∥α
D．若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b
【答案】 D
【解析】 若a∥b，b α，则a∥α或a α，故A错误；若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；若a∥b，b∥α，则a∥α或a α，故C错误；由线面平行的性质定理知D正确．故选D.
3．已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A．0条 B．1条
C．0条或1条 D．无数条
【答案】 C
【解析】 过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线有0条．
4．如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
【答案】 C
【解析】 由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE.∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴F是SB的中点，∴EF＝AB，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四边形DEFC的周长为3＋2.
5．(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD B．MN∥平面PAB
C．MN∥AD D．MN∥PA
【答案】 BD
【解析】 ∵MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，∴MN∥PA，∵PA 平面PAB，MN 平面PAB，∴MN∥平面PAB.故选BD.
6．(多选)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D．四边形EFGH是平行四边形或梯形
【答案】 CD
【解析】 因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形．故选CD.
7．平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
【答案】 充分不必要
【解析】 平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线与平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定有a∥b.
8．如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________.
【答案】 平行四边形
【解析】 因为AD∩α＝F，BD∩α＝H，则由AD，BD确定的平面ADB∩α＝FH，又AB∥α，AB 平面ABD，则AB∥FH；又AC∩α＝E，BC∩α＝G，则由AC，BC确定的平面ABC∩α＝EG，又AB∥α，AB 平面ABC，则AB∥EG，故FH∥EG；同理可得EF∥GH，故四边形EFHG为平行四边形．
9．如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
【答案】
【解析】 因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以＝＝，所以EG＝·BD＝×4＝.
10．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．
【解析】 如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.
∵SA∥平面BEF，SA 平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，
∴SA∥FG，∴＝.
∵AE∥BC，∴△GEA∽△GBC，
∴＝＝，
∴＝＝，即SF＝SC，∴λ＝.
B组·综合运用
11．若一条直线同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．不确定
【答案】 B
【解析】 如图所示，直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b.设经过a的平面与α相交于直线c，∵a∥α，∴a∥c.同理，设经过a的平面与β相交于直线d，则a∥d，由基本事实4得c∥d，∵c β，d β，∴c∥β，又c α，α∩β＝b，∴c∥b，又a∥c，∴a∥b.故选B.
12．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．梯形 D．平行四边形
【答案】 C
【解析】 因为BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜BC，所以四边形EFBC为梯形，故选C．
13．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝________.
【答案】 1
【解析】 连接AB1，交A1B于点E，连接PE，∵AC1∥平面A1BP，平面A1BP∩平面AB1C1＝PE，∴PE∥AC1，∵E是AB1的中点，∴P是B1C1的中点，∴PC1＝1.
14．如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点．
(1)求证：MN∥平面BB1C1C；
(2)若点D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求的值．
【解析】 (1)证明：连接A1C(图略)，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，侧面AA1C1C为矩形，
因为N为AC1的中点，所以N为A1C的中点．
又M为A1B的中点，所以MN∥BC，又MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C．
(2)因为DN∥平面ABB1A1，DN 平面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
所以DN∥A1B，所以＝＝1.
C组·拓展提升
15．(2024·广西贺州高一阶段检测)在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E，F分别为棱PC，AB的中点．
(1)求证：EF∥平面APD；
(2)设平面PAD∩平面PBC＝l，求证：l∥平面ABCD.
【证明】 (1)取PD的中点M，连接ME，AM，
因为M，E分别为PD，PC的中点，所以ME∥CD，且ME＝CD.
又因为F为AB的中点，所以AF＝AB，
在平行四边形ABCD中，有AB∥CD，AB＝CD，则ME∥AF，ME＝AF，
所以四边形AFEM为平行四边形，所以EF∥AM.
又因为EF 平面PAD，AM 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2)在平行四边形ABCD中，有BC∥AD，
因为BC 平面PAD，AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又因为平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，所以BC∥l，
又因为l 平面ABCD，BC 平面ABCD，所以l∥平面ABCD.
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第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
第二课时 直线与平面平行的性质
新课程标准解读 学科核心素养
理解直线和平面平行的性质定理. 数学抽象、直观想象
会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间中的简单线面关系. 逻辑推理
能够综合应用直线和平面平行的判定和性质定理进行线线、线面平行的转化. 直观想象、逻辑推理
教材梳理 明要点
当直线l∥平面α时，l与α没有公共点．此时，若m α，则l∩m＝ .这就是说，l与m的位置关系是平行或异面．
问题
那么在什么情况下l与m平行呢？
?情境导入
[提示]
[提示]
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．
知识点 直线与平面平行的性质定理
?新知初探
文字语言 一条直线与一个平面_______，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与_______平行
符号语言 a∥α，_____________________ a∥b
图形语言
[提醒]
平行
交线
a β，α∩β＝b
[提醒]
(1)线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a β.三个条件缺一不可；(2)定理的作用：①线面平行 线线平行；②画一条直线与已知直线平行．
1．判断
(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与该平面内的任意一条直线都平行．( )
(2)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．( )
(3)如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线平行．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
【解析】 (1)这条直线与该平面内的直线可能是异面直线．
(2)平面α内有无数条直线与直线a平行，这些直线都是相互平行的．
(3)这两条直线也可能相交或异面．
?预习自测
2．如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
【答案】 B
【解析】 ∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC．故选B.
题型探究 提技能
题型一
直线与平面平行性质定理的应用
【证明】 如图，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
[方法总结1]
[方法总结1]
1．利用线面平行性质定理解题的步骤
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行．
１
一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点．
(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
(2)在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
【解析】 (1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，
则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线．
(2)在平面ABC中所画的线EF与棱AC平行，证明如下：
因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，
因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，
所以AC∥EF.
2．如图，在四面体A－BCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．若AG∥平面CEF，求线段CF的长．
题型二
与线面平行性质定理有关的计算问题
【解析】 因为AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF，
所以AG∥EF.
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，
[方法总结2]
[方法总结2]
利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系；
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；
(3)利用所得关系计算求值．
2
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度．
【解析】 ∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC．∵E为AD的中点，∴F为CD的中点．
3．如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′C′.
(1)要经过平面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？
题型三
线面平行关系的综合应用
【解析】 (1)如图，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥ B′C′，并分别交棱A′B′，D′C′于点E，F.连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线．
(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′相交于B′C′，所以BC∥B′C′.由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC．而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC．显然，BE，CF都与平面AC相交．
[方法总结3]
[方法总结3]
判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化．
3
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
【解析】 直线l∥平面PAC．证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC．
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC．
所以EF∥平面ABC，
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，所以l∥平面PAC．
随堂检测 重反馈
1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
【答案】 A
【解析】 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A．
2．若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面( )
A．存在无数个 B．不存在
C．存在但只有一个 D．只存在两个
【答案】 A
【解析】 过点A作直线m的平行线l，则经过l且不经过m的所有平面均与m平行，故有无数个．故选A．
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
【答案】 A
【解析】 由长方体性质，知EF∥AB.∵AB 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.故选A．
4．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.
【答案】 1
【解析】 设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.
