第八章 8.5 8.5.3 第一课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是( )
A．n是直线且n α，n∥β
B．n，m是异面直线且n∥β
C．n，m是相交直线且n α，n∥β
D．n，m是平行直线且n α，n∥β
【答案】 C
【解析】 要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C．
2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有( )
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【答案】 D
【解析】 易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误；易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；对于D，由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D.
3．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个 B．0个或1个
C．1个 D．0个
【答案】 B
【解析】 ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．
4．在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是( )
A．△A1B1C1边界的一部分
B．一个点
C．线段的一部分
D．圆的一部分
【答案】 C
【解析】 如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于E，连接BE，因为BD∥AA1，BD 平面AA1C1C，AA1 平面AA1C1C，所以BD∥平面AA1C1C，同理DE∥平面AA1C1C，又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，所以平面BDE∥平面AA1C1C，所以M∈DE(M不与D重合，否则没有平面BDM)，故选C．
5．(多选)已知a，b表示不同的两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是( )
A．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β
B．若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β
D．若a α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b
【答案】 BD
【解析】 A项，若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；B项，若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，由面面平行的判定可得α∥β，正确；C项，若a∥α，b∥β，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；D项，若a α，a∥β，α∩β＝b，由线面平行的性质定理得a∥b，正确．故选BD.
6．(多选)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β平行的条件有( )
A．存在平面γ，使得α，β都平行于γ
B．平面α内的任意一条直线都平行于β
C．α内有不共线的三点到β的距离相等
D．存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
【答案】 ABD
【解析】 存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两个平面平行，∴A正确；平面α内的任意一条直线都平行于β，当然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正确；不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的同一侧时，α与β相交，∴C不正确；可以判定α与β平行，可在平面α内作l′∥l，m′∥m，则l′与m′必相交．又∵l∥β，m∥β，∴l′∥β，m′∥β，∴α∥β，∴D正确．故选ABD.
7．已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________.
【答案】 平行
【解析】 在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ(图略)．设γ∩β＝l，则l β，且b∩l＝O.∵a∥β，∴a∥l，∴l∥α.又∵b∥α，∴根据面面平行的判定定理可得α∥β.
8．如图所示的多面体中，四边形ACC1A1为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，M为线段AB上一点，则当点M满足________时，直线DE∥平面A1MC．
【答案】 M是AB的中点
【解析】 如图所示，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知得O为AC1的中点．设AB的中点为M，连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD＝AC，OE＝AC，因此MD∥OE.连接MO，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC．即点M为线段AB的中点时，直线DE∥平面A1MC．
9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD ②PA∥平面BDG ③直线EF∥平面PBC ④FH∥平面BDG ⑤EF∥平面BDG
其中正确结论的序号是________.
【答案】 ①②③④
【解析】 依题意，由展开图还原几何体，如图所示．连接EF，FG，GH，HE，∵F，G分别为PD，PC的中点，∴FG∥DC．同理，EF∥AD，EF∩FG＝F，AD∩DC＝D，∴平面EFGH∥平面ABCD.连接BD，AC，交于点O，连接GO.∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC中点．又G为PC中点，∴OG∥PA．∵PA 平面BDG，GO 平面BDG，∴PA∥平面BDG.∵EF∥AD∥BC，EF 平面PBC，BC 平面PBC，∴EF∥平面PBC．连接FH，∵F，H分别为PD，PB的中点，∴FH∥BD，又FH 平面BDG，BD 平面BDG，∴FH∥平面BDG.EF与平面BDG相交．故正确结论的序号是①②③④.
10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC．
【证明】 因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因为BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC．
因为四边形ABCD为平行四边形．
所以BC∥AD，所以MQ∥BC．
又因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC．
又因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PBC．
B组·综合运用
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为时，线段AP的长为( )
A． B．1
C． D．
【答案】 D
【解析】 如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR.因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，B1D1 平面B1D1C，PQ 平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C．因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C．因为B1C 平面B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C．又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面，易知△PQR是等边三角形，则PQ2·＝，解得PQ＝2，所以AP＝PQ＝.故选D.
12．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是CC1，C1D1，DD1，CD，BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥平面A1BD，则点M轨迹的长度是( )
A．a B．a
C． D．
【答案】 D
【解析】 如图，连接EF，FG，HE，GH，HN，GN，∵在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是CC1，C1D1，DD1，CD，BC的中点，则GH∥BA1，HN∥BD，又GH 平面A1BD，BA1 平面A1BD，∴GH∥平面A1BD，同理可证得NH∥平面A1BD，又GH∩HN＝H，∴平面A1BD∥平面GHN，又∵点M在四边形EFGH边上及其内部运动，MN∥平面A1BD，则点M在线段GH上运动时，即可满足条件，又GH＝a，则点M轨迹的长度是a.故选D.
13．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为________.
【答案】
【解析】 如图，分别取C1D1，B1C1的中点P，Q，连接B1D1，NP，PQ，QB，PD.
易知MN∥B1D1∥BD，AD綉NP，所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP.又BD和DP为平面DBQP内的两条相交直线，所以平面DBQP∥平面AMN，则四边形DBQP的面积即为所求．因为PQ∥DB，PQ＝BD＝，所以四边形DBQP为梯形，其高为h＝＝，所以梯形DBQP的面积为(PQ＋BD)h＝××＝.
14．(2024·北京高一下期中)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C与AC1交于点O，D为BC边上一点，D1为B1C1中点，且A1B∥平面ADC1.求证：
(1)A1B∥OD；
(2)平面A1BD1∥平面ADC1.
【证明】 (1)由题意，因为A1B∥平面ADC1，
且A1B 平面A1BC
又因为平面ADC1∩平面A1BC＝OD，
所以由线面平行的性质得A1B∥OD.
(2)由(1)可知A1B∥OD，
又因为O点为A1C的中点，
所以OD为△CA1B的中位线，
所以D为BC的中点，即BD＝BC，
因为D1为B1C1的中点，即D1C1＝B1C1，
又因为BC∥B1C1，BC＝B1C1，
所以BD＝D1C1，BD∥D1C1，
所以四边形BDC1D1为平行四边形，
所以BD1∥DC1，
又因为DC1 平面ADC1，BD1 平面ADC1，
所以BD1∥平面ADC1，
又A1B∥平面ADC1，A1B∩BD1＝B，A1B 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，
所以平面A1BD1∥平面ADC1.
C组·拓展提升
15．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF∥平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1.
【证明】 (1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接BM，如图．
因为E，F分别是BC，CM的中点，
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1，BM 平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
(2)因为G是CD的中点，E是BC的中点，所以EG∥BD.
而EG 平面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，
从而得EG∥平面BDD1B1.
由(1)知EF∥平面BDD1B1，又EF∩EG＝E，EF，EG 平面GEF，
因此平面GEF∥平面BDD1B1.
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第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
第一课时 平面与平面平行的判定
新课程标准解读 学科核心素养
借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明. 逻辑推理
会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行. 直观想象、逻辑推理
教材梳理 明要点
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层．
问题
展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？你是依据什么判断的？
?情境导入
[提示]
[提示]
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
知识点 平面与平面平行的判定定理
?新知初探
文字语言 如果一个平面内的________________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
[提醒]
两条相交直线
[提醒]
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面β内两条相交直线a，b，即a β，b β，a∩b＝P；②两条相交直线a，b都与平面α平行，即a∥α，b∥α.
1．判断
(1)如果一条直线和一个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )
(2)如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )
(3)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
【解析】 (1)这条直线也可能在平面内．(2)这两个平面也可能相交．(3)是平面与平面平行的定义．
?预习自测
2．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
【答案】 C
【解析】 由图①和图②可知，α与β平行或相交．
题型探究 提技能
【答案】 D
题型一
平面与平面平行判定定理的理解
【解析】 选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行，故选D.
[方法总结1]
[方法总结1]
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
１
下列命题正确的是( )
A．一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
【答案】 B
【解析】 对于A、C、D选项，两个平面均有可能相交，而对于B选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故A、C、D错误，B正确．
题型二
平面与平面平行的判定
【证明】 因为PE＝EC，PF＝FD，所以EF∥CD，
又因为CD∥AB，所以EF∥AB.
又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
同理可证EG∥平面PAB.
又因为EF∩EG＝E，所以平面PAB∥平面EFG.
[方法总结2]
[方法总结2]
1．利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
2．转化思想
转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
2
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC．
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
随堂检测 重反馈
1．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 a α，a∥β，α，β可能相交，也可能平行；由面面平行的定义可知，若α∥β且a α，则a∥β.故p是q的必要不充分条件．故选B.
A．平行
B．相交
C．垂直
D．以上都有可能
【答案】 A
3．如图，在三棱锥P－ABC中，点D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.
【答案】 平行
【解析】 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC．同理，可证EF∥平面ABC．又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC．
4．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．证明：平面BDGH∥平面AEF.
【证明】 在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
