第一章 1.1 1.1.1 第1课时（标题三号加粗不带内容）
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第八章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
新课程标准解读 学科核心素养
掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法. 直观想象、数学运算
会求由圆柱、圆锥、圆台、球构成的简单组合体的表面积与体积. 直观想象、数学运算
能解决圆柱、圆锥、圆台、球的“切”“接”问题. 直观想象、数学运算
教材梳理 明要点
在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体．
这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体．
问题
你会求上述几何体的表面积及体积吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积之和．
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
?新知初探
图形 表面积和体积
圆柱
S圆柱＝ (r是底面半径，l是母线长)；
V圆柱＝ (r是底面半径，h是高)
圆锥
S圆锥＝ (r是底面半径，l是母线长)；
V圆锥＝ (r是底面半径，h是高)
2πr(r＋l)
πr2h
πr(r＋l)
图形 表面积和体积
圆台 S圆台＝ (r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长)；
V圆台＝ (r′，r分别是上、下底面半径，h是高)
[提醒]
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
[提醒]
②体积公式间的关系
知识点二 球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝________(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝_________(R为球的半径)．
4πR2
1．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为______，体积为_________.
【答案】 6π 2π
【解析】 由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.V＝πr2·h＝π×12×2＝2π.
?预习自测
3．直径为1的球的表面积为_________，体积为_________.
题型探究 提技能
题型一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
[方法总结1]
[方法总结1]
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加．
１
圆台的上、下底面半径分别为10 cm,20 cm，它的侧面展开图是扇环，其圆心角为π，则圆台的表面积为_________cm2.(结果中保留π)
【答案】 1 100π
【解析】 如图所示，设圆台的上底面周长为l cm，因
为扇环的圆心角是π，所以l＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm.
同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以表面
积S＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为_________.
【答案】 (1)A (2)224π
题型二
圆柱、圆锥、圆台的体积
[方法总结2]
[方法总结2]
圆柱、圆锥、圆台体积的求法
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解．
2
(1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A．5π B．6π
C．20π D．10π
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
【答案】 (1)B (2)D
题型三
球的表面积与体积
[方法总结3]
[方法总结3]
因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．
3
(1)若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为_________.
随堂检测 重反馈
【答案】 B
A．π B．2π
C．3π D．4π
【答案】 C
3．已知圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】 A
4.我国南北朝著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”．即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．在数学上运用祖暅原理推导半球的体积公式时，构造了一个底面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高、等底的圆锥的几何体(如图所示)，则该几何体的体积为_________.
