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第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第一课时 直线与平面垂直的判定
新课程标准解读 学科核心素养
从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系. 数学抽象
归纳出直线与平面垂直的判定定理. 逻辑推理
了解直线与平面所成角. 直观想象
教材梳理 明要点
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
?情境导入
[提示]
问题
(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
[提示]
不可以判断木棒和地面垂直，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
知识点一 直线与平面垂直
1．定义：如果直线l与平面α内的___________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作_________.
?新知初探
任意一条
l⊥α
2．相关概念
3．性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的公共点
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段
点到平面的距离 垂线段的长度
想一想
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
提示：不一定．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面ABCD内的无数条直线，但AB 平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直．不仅如此，因为A1B1∥ AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD.
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条_______直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，_________＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
[提醒1]
相交
m∩n
[提醒1]
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直；
(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的．
知识点三 直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α_______，但不与这个平面_______，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的_________叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引___________，过_________和_________的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
相交
垂直
交点A
垂线PO
垂足O
斜足A
[提醒2]
有关概念 对应图形
直线与
平面所
成的角 定义：平面的一条_______和它在平面上的_______所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是__________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是_______
取值范围 ___________________
斜线
射影
90°
0°
0°≤θ≤90°
[提醒2]
(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；
(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
1．判断
(1)若l⊥α，a为平面α内的任意一条直线，则l⊥a.( )
(2)若一条直线垂直于梯形的两边所在的直线，则这条直线垂直于梯形所在的平面．( )
(3)若直线与平面所成的角为0°，那么直线与平面平行．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
【解析】 (1)由直线和平面垂直的定义可知，直线l和平面内的所有直线都垂直．
(2)当这条直线垂直于两底边时，直线和平面不一定垂直．
(3)直线也可能在平面内．
?预习自测
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成角的大小为________；AB1与平面ADD1A1所成角的大小为________；AB1与平面DCC1D1所成角的大小为________.
【答案】 45° 45° 0°
【解析】 ∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
题型探究 提技能
1.下列命题中正确的是________(填序号)．
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
【答案】 ③④
题型一
线面垂直概念的理解
【解析】 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．
[方法总结1]
[方法总结1]
1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
2．由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
１
设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m⊥α，则l∥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【答案】 B
【解析】 l∥α或l α，故A错误；因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；也有可能是l，m异面，故C错误；l，m还可能相交或异面，故D错误．
题型二
直线与平面垂直的判定
【证明】 ∵SA＝SC，点D为AC的中点，
∴SD⊥AC．
如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD且SA＝SB，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC．
[母体探究]
变式：(变条件，变设问)在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？
【解析】 ∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC．
又由例题知SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC．
[方法总结2]
[方法总结2]
证明线面垂直的方法
(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直；
(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
2
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
【证明】 (1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
又PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
3．如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
题型三
直线与平面所成的角
【解析】 由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC．
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
[方法总结3]
[方法总结3]
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
3
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成角的大小．
【解析】 连接BC1，设BC1与B1C相交于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a.
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，
B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，
∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．
所以∠BA1O＝30°，
所以直线A1B和平面A1DCB1所成角的大小为30°.,
随堂检测 重反馈
1．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α
D．m∥b，b⊥α
【答案】 D
【解析】 m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．故选D.
2．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面
B．平行
C．垂直
D．不能确定
【答案】 C
【解析】 因为BA⊥α，α∩β＝l，l α，所以BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，则l⊥平面ABC．因为AC 平面ABC，l⊥AC．故选C．
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________.
【答案】 4
【解析】 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，求AC1与平面ABCD所成角的正弦值．第八章 8.6 8.6.2 第一课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是( )
A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α
B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α
D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α
【答案】 A
【解析】 根据线面垂直的判定定理可知，直线需垂直于平面内的两条相交直线，故A错误，C正确；根据线面平行的判断定理可知，平面外的直线平行于平面内的一条直线，即可证明线面平行，若直线l平行于α内的无数条直线，也可说明线面平行，故B、D正确．故选A．
2．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 设圆锥的底面半径为R，母线长为l，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以πRl＝2πR2，解得l＝2R，设该圆锥的母线与底面所成角为α，则cos α＝＝，所以α＝.故选C．
3．已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是( )
A．3π B．2π
C．π D．
【答案】 A
【解析】 如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π.故选A．
4．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥平面α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】 B
【解析】 由PB⊥平面α，AC 平面α，得PB⊥AC．又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC．因为BC 平面PBC，所以AC⊥BC．所以△ABC为直角三角形．故选B.
5．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )
A．BF∥CD
B．DG⊥BH
C．CH与BG成60°角
D．BE与平面ABCD所成角的大小为45°
【答案】 BCD
【解析】 由正方体的平面展开图还原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确．故选BCD.
6．(多选)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是( )
A．BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
【答案】 ABC
【解析】 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C正确；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D不正确．
7．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为________.
【答案】 30°
【解析】 由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°.
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为________.
【答案】 64
【解析】 ∵S正方形ABCD＝16，∴AB＝CB＝4，∵AB⊥平面BB1C1C，故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，即∠AC1B＝30°.从而BC1＝4，CC1＝＝4.故长方体的体积V＝16×4＝64.
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________.
【答案】 线段B1C
【解析】 如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，∴BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
10．如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成角的大小．
【解析】 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示．
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角．
在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝，
∴在Rt△AOE中，sin∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.
B组·综合运用
11．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的( )
A．内心 B．重心
C．外心 D．垂心
【答案】 C
【解析】 如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC．∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC．∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E为DC的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列说法正确的有( )
①DE⊥平面ACD ②CD⊥平面BED
③BD⊥平面ACD ④AD⊥平面BED
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】 ∵在矩形ABCD中，AB＝2BC，E为DC的中点，过点E作EQ2⊥AB交AB于点Q2，∴在折起过程中，点D在平面ABCE上的射影点D′在图中线段Q1Q2上．∵D′E与AC所成角不能为直角，∴DE不会垂直于平面ACD，故①错误．只有点D的射影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，∴在折起过程中CD与平面BED不垂直，故②错误．∵BD′与AC所成角不能为直角，∴BD不能垂直于平面ACD，故③错误．∵AD⊥DE，并且在折起过程中，有AD′⊥BE，∴存在一个位置使AD⊥BE，又BE∩DE＝E，∴在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A．
13．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论正确的是( )
A．EF⊥BB1
B．EF⊥平面BDD1B1
C．EF与C1D所成的角为45°
D．EF∥平面A1B1C1D1
【答案】 ABD
【解析】 连接A1B，A1C1，A1D，则E为A1B的中点．∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，∵E，F分别为A1B，BC1的中点，∴EF∥A1C1，∴EF⊥BB1，故A中结论正确；∵几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴四边形A1B1C1D1为正方形，则A1C1⊥B1D1，又∵A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面BDD1B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，∵EF∥A1C1，∴EF⊥平面BDD1B1，故B中结论正确；易知△A1C1D为等边三角形，则∠A1C1D＝60°，∵EF∥A1C1，∴EF与C1D所成的角为60°，故C中结论错误；∵EF∥A1C1，EF 平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴EF∥平面A1B1C1D1，故D中结论正确．故选ABD.
14．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
【证明】 (1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图．
又∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝DC．
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，
∵E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
C组·拓展提升
15．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD.
(1)求证：AF⊥平面BEG；
(2)若AF＝FG，求直线EG与平面ABG所成角的正弦值．
【解析】 (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴△AEF∽△CBF，∴＝＝＝.
在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，
∴AE＝，AC＝.
在Rt△BEA中，BE＝＝，
∴AF＝AC＝，BF＝BE＝，
在△ABF中，AF2＋BF2＝2＋2＝1＝AB2，
∴∠AFB＝90°，∴AC⊥BE.
∵GF⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥GF.
又∵BE∩GF＝F，BE，GF 平面BEG，
∴AF⊥平面BEG.
(2)由(1)知AF⊥平面BEG，
∴AF是三棱锥A－BEG的高，
又AF＝，AF＝FG，∴FG＝，
在△BEG中，易知FG⊥BE，
∴S△BEG＝BE·FG＝，
∴VA－BEG＝×S△BEG×AF＝××＝.
设点E到平面ABG的距离为h，易知BF＝，EF＝，EG＝，BG＝1，AG＝，
又AB＝1，∴△ABG是等腰三角形，作底边AG的高构造直角三角形易得S△ABG＝，
∴VE－ABG＝VA－BEG，即×S△ABG×h＝，∴h＝，
∴直线EG与平面ABG所成角的正弦值为＝.
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