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第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
第一课时 平面与平面垂直的判定
新课程标准解读 学科核心素养
从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系. 数学抽象
了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义. 逻辑推理
归纳出平面与平面垂直的判定定理. 数学运算
教材梳理 明要点
如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．
问题
你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？
?情境导入
[提示]
[提示]
用二面角来刻画不同的面面“夹角”．
知识点一 二面角
1．定义：从一条直线出发的两个_________所组成的图形叫做二面角．
2．相关概念
?新知初探
二面角的棱 二面角的面 记法
AB(l) α，β 二面角α－AB－β；二面角α－l－β；二面角P－l－Q；二面角P－AB－Q
半平面
3．二面角的平面角
(1)定义：在二面角α－l－β的棱l上_____________，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作_______于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；
(2)范围：______________________；
(3)直二面角：平面角是直角的二面角．
任取一点O
垂直
0°≤α≤180°
想一想
二面角与平面几何中的角有什么区别？
提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
知识点二 平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是______ _____，就说这两个平面互相垂直；
(2)画法
(3)记作：_________.
直二
面角
α⊥β
2．平面与平面垂直的判定定理
[提醒]
文字语言 如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面垂直
符号语言 a α，a⊥β α⊥β
图形语言
垂线
[提醒]
判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．
想一想
“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？
提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面．
1．如图所示的二面角可记为( )
A．α－β－l B．M－l－N
C．l－M－N D．l－β－α
【答案】 B
【解析】 根据二面角的记法规则可知B正确．故选B.
?预习自测
2．在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是( )
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
【答案】 D
3．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
【答案】C
【解析】由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
题型探究 提技能
题型一
二面角大小的计算
【解析】 (1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A－PD－C的大小为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA．
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B－PA－C的大小为45°.
[方法总结1][提醒]
[方法总结1]
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
[提醒]
作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点．
１
在正四面体A－BCD中，二面角A－CD－B的平面角的余弦值为( )
【答案】 B
【证明】证法一(定义法):因为∠BSA＝∠CSA＝60°,SA＝SB＝SC,
所以△ASB和△ASC均是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，
题型二
平面与平面垂直的证明
连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC．
证法二(判定定理法)：因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC．
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC．
[方法总结2]
[方法总结2]
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
2
【证明】 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN 平面ABC，则AA1⊥BN.
因为N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，则BN⊥AC．
因为AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，ME 平面AA1C1C，BN⊥ME.
所以Rt△A1EM∽Rt△ANE，故∠A1EM＝∠ANE，∠A1EM＋∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，则有∠MEN＝90°，故EN⊥ME.
因为EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME 平面MEB，所以平面MEB⊥平面BEN.
随堂检测 重反馈
1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】 A
【解析】 根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误．所以①②③都不正确．故选A．
2．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定
【答案】 D
【解析】 如图所示，设平面ABC⊥平面BCD，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H－DG－F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定．
3．如图所示，在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有( )
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD
【答案】 C
【解析】 ∵AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC 平面BCD，BD 平面BCD，∴AD⊥平面BCD，∵AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.故选C．
4．如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为________.
【答案】 45°
【解析】 ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC．∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC．又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，∴PC⊥BC．又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，故二面角P－BC－A的大小是45°.第八章 8.6 8.6.3 第一课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
【答案】 D
【解析】 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
【答案】 C
【解析】 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.
3．如图，三棱台ABC－A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A－BB1－C的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】 C
【解析】 三棱台ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A－BB1－C的平面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C．
4．在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
【答案】 C
【解析】 由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD，又底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB，CD⊥AD，而AB∩PA＝A，AD∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，又BC∥AD，∴BC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，选项A、B、D可证明．故选C．
5．(多选)已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是( )
A．若α∥β，l∥β，则l∥α
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若α⊥β，l∥β，则l⊥α
【答案】 BC
【解析】 若α∥β，l∥β，则l∥α或l α，故A不正确；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；如图，若l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正确；若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确．故选BC．
6．(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A′的位置，此时A′C＝，构成三棱锥A′－BCD，则( )
A．平面A′BD⊥平面BDC
B．平面A′BD⊥平面A′BC
C．平面A′DC⊥平面BDC
D．平面A′DC⊥平面A′BC
【答案】 AD
【解析】 在三棱锥A′－BDC中，A′D＝A′B＝1，∠BA′D＝90°，故BD＝，易知DC＝，又A′C＝，故A′C2＝A′D2＋DC2，则CD⊥A′D，又CD⊥BD，A′D∩BD＝D，所以CD⊥平面A′BD，故平面A′BD⊥平面BDC．又CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B，又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，所以A′B⊥平面A′DC，故平面A′DC⊥平面A′BC．
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与平面EFCD所成的二面角的余弦值为________.
【答案】
【解析】 根据题意，EF⊥平面ADD1A1，∴ED1⊥EF，ED⊥EF，∴∠D1ED是平面C1D1EF与平面EFCD所成二面角的平面角，在Rt△D1ED中，ED＝，ED1＝＝，∴cos∠D1ED＝＝.
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.
【答案】 1
【解析】 由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC(图略)，则
BC＝＝＝1.
9．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE；
④平面ACD⊥平面BDE.
【答案】 ③④
【解析】 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，因为BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，所以AC⊥平面BDE.因为AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
10．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．
【解析】 ∵E为SC的中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC．
又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC．
由SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，
又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，
∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．
设SA＝AB＝1，则SB＝.
在△ABC中，∵AB⊥BC，BC＝SB＝，∴AC＝，∴SC＝2.
在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.
B组·综合运用
11．若正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1－AD－B的大小为( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 由题意知：AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝且∠ABD＝，过B作BE⊥AD于E，连接B1E，则BE＝，而BB1⊥平面ABD，AD 平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即AD⊥平面BEB1，故二面角B1－AD－B的平面角为∠BEB1，∴tan∠BEB1＝＝，而∠BEB1∈，即∠BEB1＝.
12．(多选)如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是( )
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】 ABC
【解析】 因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面PBC．同理，EG∥平面PBC．又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中结论正确；因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC．又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG 平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BP与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确．
13．在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是________.
【答案】 5
【解析】 如图所示，P为二面角α－l－β的一个面α内一点，PO是它到另一个面β的距离，PH是它到棱的距离为10，∵PO⊥β，∴PO⊥l，又PH⊥l，∴l⊥平面POH，得出l⊥OH，∴∠PHO为二面角α－l－β的平面角，∠PHO＝60°，在Rt△PHO中，PO＝PH·sin 60°＝10×＝5.
14．(2024·成都阶段检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠CDA＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACM；
(2)证明：平面PAD⊥平面PAC．
【证明】 (1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，O为AC，BD的中点，
因为M为PD的中点，所以PB∥MO，
又因为PB 平面ACM，MO 平面ACM，所以PB∥平面ACM.
(2)因为∠CDA＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即DA⊥AC，
因为PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PO⊥AD，
因为AC∩PO＝O，AC，PO 平面PAC，所以AD⊥平面PAC，
又因为AD 平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAC．
C组·拓展提升
15．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．
求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA．
【证明】 (1)设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图，
作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a.
因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC．
因为EF＝a，BC＝2a，
所以DE＝＝a.
又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，DB⊥AB，所以DA＝＝a，所以DE＝DA．
(2)如图所示，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥CE∥DB，且MN＝CE＝DB，
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
由(1)知DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
因为EC∩AE＝E，EC 平面AEC，AE 平面AEC，
所以DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA．
(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．
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