第九章 9.1 9.1.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．在简单随机抽样中，关于其中一个个体被抽中的可能性，下列说法正确的是( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些
B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些
C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，各次抽取的可能性不一样
【答案】 C
【解析】 在简单随机抽样中，总体中的每个个体在每次抽取时被抽到的可能性相同，故选C．
2．某校高一年级共有10个班，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，每次不放回地抽取一个号码，共抽取3次．设高一(5)班第一次被抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝，b＝
C．a＝，b＝ D．a＝，b＝
【答案】 D
【解析】 由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，故高一(5)班在每次抽取中被抽到的可能性都是.故选D．
3．某学校高一年级(1)班，(2)班，(3)班的人数分别为45，50，55，在某次考试中，(1)班的平均分为83分，(3)班的平均分为91分，三个班的平均分为86.6分，则(2)班的平均分为( )
A．84分 B．85分
C．86分 D．87分
【答案】 B
【解析】 设(2)班的平均分为x分，则有：＝86.6，解得x＝85.故选B．
4．在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是( )
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么不被剔除的机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
【答案】 B
【解析】 由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的．故选B．
5．某中学举行“讲好航天故事”主题演讲比赛．若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，经随机模拟产生了32个随机数如下，则选出来的第7个个体的编号为( )
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15
20 01 12 51 29 32 04 92 34 49 35
82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．12 B．20
C．29 D．23
【答案】 C
【解析】 有效编号为：12，02，01，04，15，20，29，得到选出来的第7个个体的编号为29.故选C．
6．(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从50个零件中随机抽取5个做质量检验
B．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
C．从整数集中随机抽取10个分析奇偶性
D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
【答案】 AD
【解析】 对于A中，从50个零件中随机抽取5个做质量检验，符合简单随机抽样的定义和条件，所以是简单随机抽样；对于B中，从50个零件中一次性抽取5个做质量检验，不符合简单随机抽样的使用条件，不是简单随机抽样；对于C中，从整数集中随机抽取10个分析奇偶性，其中整数集为无限集，不符合简单随机抽样的条件，不是简单随机抽样；对于D中，运动员从8个跑道中随机选取一个跑道，符合简单随机抽样的定义和条件，所以是简单随机抽样．故选AD．
7．已知x1＝－1，x2＝0，x3＝1，x4＝2，x5＝3，y1＝－2，y2＝0，y3＝2，y4＝4，y5＝6，则(xi＋yi)＝________.
【答案】 0
【解析】 (xi＋yi)＝xi＋yi＝(－1＋0＋1)＋(－2＋0＋2)＝0.
8．从总体容量为N的一批零件中使用简单随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为1%，则N＝________.
【答案】 4 000
【解析】 简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，即＝1%，解得N＝4 000.
9．从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次．试估计该训练营投篮投中的比例为________.
【答案】 0.6
【解析】 10名学员投中的平均次数为＝6，所以投中的比例约为＝0.6.
10．某卫生单位为了支援抗震救灾，要在50名志愿者中选取10人组成医疗小组去参加救治工作，请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案．
【解析】 抽签法：
第一步，将50名志愿者编号，号码为01，02，03，…，50；
第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签；
第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀；
第四步，从盒子中依次不放回地取出10个号签，并记录上面的编号；
第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．
随机数法：
(1)将50名志愿者编号，号码为01，02，03，…，50；
(2)准备10个大小，质地均匀的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9；
(3)把小球放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，从容器中有放回地抽取2次，并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在01～50范围内，就代表了对应编号的志愿者被抽中，否则舍弃编号；
(4)生成随机数，如果生成的随机数有重复，则剔除并重新生成随机数，直到抽中10名志愿者为止．
B组·综合运用
11．在容量为100的总体中用随机数法抽取5个样本，总体编号为00，01，02，03，…，99，给出下列几组号码：(1)00，01，02，03，04；(2)10，30，50，70，90；(3)49，17，46，09，62；(4)11，22，33，44，55，则可能成为所得样本编号的是( )
A．只可能为(3)
B．只可能为(3)(4)
C．只可能为(2)(3)(4)
D．(1)(2)(3)(4)均有可能
【答案】 D
【解析】 用随机数法抽样，每个个体都有可能被抽到且各个个体被抽到的可能性相等．故选D．
12．从全校2 000名女学生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3 cm，则可以推测该校女学生的平均身高( )
A．一定为148.3 cm B．高于148.3 cm
C．低于148.3 cm D．约为148.3 cm
【答案】 D
【解析】 由抽样调查的意义可知该校女学生的平均身高约为148.3 cm.
13．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为________.
【答案】 0.9
【解析】 设20个数分别为x1，x2，…，x20，且x20就是输错的数据，则求出的平均数为＝，实际平均数＝，∴求出的平均数与实际平均数的差－＝＝0.9.
14．某些商家为消费者提供免费塑料袋，使购物消费更加方便快捷，但是我们更应关注它对环境的潜在危害．为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况，统计人员采用了科学的方法，随机抽取了200户，对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计，结果如下表：
每户丢弃塑料袋个数 1 2 3 4 5 6
家庭数/户 15 60 65 35 20 5
(1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数；
(2)假设某市现有家庭100万户，据此估计全市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的总数．
【解析】 (1)×(1×15＋2×60＋3×65＋4×35＋5×20＋6×5)＝×600＝3，
故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3.
(2)3×365×100＝109 500，
由此估计全市所有家庭每年丢弃塑料袋109 500万个．
C组·拓展提升
15．学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成绩(单位：分)如下表所示：
工作态度 教学成绩 业务学习
王老师 98 95 96
张老师 90 99 98
(1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩，并以此作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？
(2)如果以20%，60%，20%作为三项成绩的比例来计算他们的成绩，结果又会如何？
【解析】 (1)王老师的平均分：≈96.3(分)．
张老师的平均分：≈95.7(分)．
王老师的平均分较高，王老师被评为优秀．
(2)王老师的平均分：98×20%＋95×60%＋96×20%＝95.8(分)．张老师的平均分：90×20%＋99×60%＋98×20%＝97(分)．故张老师的平均分较高，张老师被评为优秀．
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第九章 统计
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
新课程标准解读 学科核心素养
了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性. 数学抽象
通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法. 数学抽象
会计算样本均值和总体均值，了解样本与总体的关系. 数据分析
教材梳理 明要点
在现实生活中，我们经常会接触到各种统计数据，例如人口总量、经济增长率、就业情况、迅速锁定“涉疫”人员的运动轨迹、疫情发展大数据实时报告等等，要正确理解这些数据，需要具备一些统计学知识。统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门学科。面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，然后选择适当的统计图表对数据进行整理和描述。
问题
同学们还记得第七次人口普查吗？第七次人口普查都获得了哪些数据？这些数据都是怎样得到的？
?情境导入
[提示]
[提示]
(1)在第七次人口普查中获得了全国人口总数、男性与女性所占的比例、人口增长率以及出生人口总数等数据．
(2)这些数据是工作人员挨家挨户进行信息登记和调查得来的，然后通过对数据进行整理和分析得到了人口普查最终的结果．
知识点一 全面调查和抽样调查
?新知初探
调查方式 全面调查(普查) 抽样调查
定义 对_________调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出_______和_______的调查方法
每一个
估计
推断
调查方式 全面调查(普查) 抽样调查
相关概念 总体：在一个调查中，把调查对象的_______称为总体；
个体：组成总体的每一个调查_______称为个体 样本：把从总体中抽取的那部分_______称为样本；
样本量：样本中包含的_________称为样本容量，简称样本量
全体
对象
个体
个体数
想一想
样本与样本量有什么区别？
提示：样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本量是样本中个体的数目，是一个数．
知识点二 简单随机抽样
1．定义
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中_______抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都_______，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内_______________________被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
逐个
相等
未进入样本的各个个体
2．简单随机抽样的方法
(1)抽签法：把总体中的N个个体_______，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地_______抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数．
编号
逐个
(2)随机数法
①定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数；
②产生随机数的方法：(ⅰ)用随机试验生成随机数；(ⅱ)用信息技术生成随机数．
[提醒1]
[提醒1]
抽签法与随机数法的异同点：
相同点：①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；②都是从总体中逐个不放回地进行抽取．
不同点：①抽签法比随机数法操作简单；②随机数法更适用于总体中个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，可以节约大量的人力和制作号签的成本．
知识点三 总体均值和样本均值
[提醒2]
[提醒2]
样本平均数和总体平均数的区别与联系：
区别：总体平均数即为研究对象的全部的平均数(总体均值)，是一个常量，而样本平均数是指从总体中抽出的一部分个体的平均数，不同样本的平均数往往是不同的，由于样本的选取是随机的，因此样本平均数(样本均值)也具有随机性；
联系：①大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动，可以用样本平均数来估计总体平均数；②随机样本的容量越大，样本平均数就越接近总体平均数．
1．某学校为了解高一年级800名新入学同学的数学学，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )
A．800名同学是总体 B．100名同学是样本
C．每名同学是个体 D．样本量是100
【答案】 D
【解析】 据题意，总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本量是100，故只有D正确．
?预习自测
2．全国高中数学联合竞赛是中国高中数学学科的较高等级的数学竞赛，在每年9月第二个星期日举行，在这项竞赛中取得优异成绩的约200名学生有资格参加由中国数学协会主办的中国数学奥林匹克(CMO)竞赛．某校从初赛成绩优秀的52名学生中选取5名学生参加省赛，若采用简单随机抽样抽取，则每人入选的可能性( )
【答案】 C
3．用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，3，5，7，9，则该样本的平均数为________.
【答案】 5.2
题型探究 提技能
1.(1)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是( )
A．某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本
B．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查
C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访
D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计
题型一
简单随机抽样概念的理解
(2)(多选)关于简单随机抽样的特点有以下几种说法，其中正确的是( )
A．要求总体中的个体数有限
B．从总体中逐个抽取
C．每个个体被抽到的机会相等，与先后顺序无关
D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关
【答案】 (1)C (2)ABC
【解析】 (1)A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样．
(2)由简单随机抽样的定义可知A、B、C正确．
[方法总结1]
[方法总结1]
简单随机抽样的判断方法
判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的三个特征：
１
(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的有( )
A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动
B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验
C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动
D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码
【答案】 AD
【解析】 B不是简单随机抽样，虽然一次性抽取3个个体，等价于逐个抽取个体3次．但不是“逐个抽取”；C不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的，而不是随机抽取的；A，D是简单随机抽样．
2.高一(1)班有50名同学，现从中抽出8名同学去参加一个座谈会，每位同学的机会均等．请你设计一个抽样方法，并说明其合理性．
【解析】 可以采用抽签法进行选取．
首先，我们可以把50名同学的学号写在小纸条上，揉成小球；
然后，放到一个不透明的袋子中，充分搅拌；
最后从中逐个抽出8个号签，从而抽出8名参加座谈会的学生．
题型二
抽签法的应用
[方法总结2]
[方法总结2]
应用抽签法的两个关键点
一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀．一般地，当总体容量和样本量都较少时可用抽签法，然后按照抽签法的步骤进行抽样即可．
2
在用抽签法抽样时，有下列五个步骤：(1)从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；(2)将总体中的所有个体编号；(3)制作号签；(4)将总体中与抽到号签的编号相一致的个体取出构成样本；(5)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀．以上步骤的次序是________.
【答案】 (2)(3)(5)(1)(4)
【解析】 利用抽签法第一步要进行编号，然后做号签，放入容器并搅拌均匀，接下来逐个不放回地抽取号签，最后将与编号一致的个体取出构成样本，故这些步骤的先后顺序为(2)(3)(5)(1)(4)．
【答案】 D
【解析】 利用系统抽样，把编号分为5段，每段20个，每段抽取1个，号码间隔为20.选项A中样本间隔为10，选项B中样本间隔为15，选项C中样本间隔为10，选项D中样本间隔为20.
题型三
随机数法的应用
[方法总结3]
[方法总结3]
本题中将学生编号都设定成了三位数，我们还可以利用计算机产生若干个0～9范围内的随机数，然后结合编号特点进行读取，若编号为两位数，则两位两位地读取，若编号为三位数，则三位三位地读取．
3
总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A．08 B．02
C．63 D．01
【答案】 D
7 816 6 572 0 802 6 314 0 702 4 369 9 728 0 198
3 204 9 234 4 935 8 200 3 623 4 869 6 938 7 481
【解析】 根据题意，依次读出的数据为65(舍去)，72(舍去)，08，02，63(舍去)，14，07，02(舍去，重复)，43(舍去)，69(舍去)，97(舍去)，28(舍去)，01.故选D．
4.为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，从该校高一学生中抽查了20名学生，通过调查，这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)：
8 10 6 6 8 12 15 6 8 6
10 8 8 15 6 8 10 8 8 10
试估计该校高一学生每天午餐的平均费用，以及午餐费用不低于10元的比例．
题型四
XXXXXXXX
所以估计该校高一全体学生每天午餐的平均费用为8.8元．
在全体学生中，午餐费用不低于10元的比例约为0.35.
[方法总结4]
[方法总结4]
用样本平均数估计总体平均数的步骤
4
李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量/千克 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22
据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为( )
A．200千克，3 000元 B．1 900千克，28 500元
C．2 000千克，30 000元 D．1 850千克，27 750元
【答案】 C
随堂检测 重反馈
1．为了了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．现有下列说法：①2 000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④可采用抽签法抽样；⑤每个运动员被抽到的机会相等．其中，说法正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 A
【解析】 对于①中，2 000名运动员的年龄是总体，所以①不正确；对于②中，每个运动员的年龄为个体，所以②不正确；对于③中，所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，所以③不正确；对于④中，抽签法常常用于总体的个体数较少时，当总体中的个体数较多时，编号制签复杂，将号签“搅拌均匀”也比较困难，这样产生的样本代表总体不合理，所以④不正确；对于⑤中，在简单随机抽样时，每个运动员被抽到的机会是相等的，所以⑤正确．故选A．
2．甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去.你认为抽到的概率大的是( )
A．先抽的概率大些 B．三人的概率相等
C．无法确定谁的概率大 D．以上都不对
【答案】 B
3．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是( )
0 347 4 373 8 636 9 647 3 661 4 698
6 371 6 233 2 616 8 045 6 011 1 410
A．36 B．16
C．11 D．14
【答案】 C
【解析】 从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11.所以选出来的第5个零件编号是11.故选C．
4．某校女子篮球队7名运动员的身高(单位：cm)分别为180，181，176，172，x，174，175，已知记录的平均身高为176 cm，但记录中有一名运动员身高因记录不清，而用x代替，那么x的值为________.
【答案】 174
