(共52张PPT)
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
第二课时 平面与平面垂直的性质
新课程标准解读 学科核心素养
掌握平面与平面垂直的性质定理，会用定理证明垂直关系. 数学抽象、逻辑推理
熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直间判定和性质的转化. 直观想象、逻辑推理
教材梳理 明要点
1．在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直．
2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.
问题
通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
知识点 平面与平面垂直的性质定理
?新知初探
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_______，那么这条直线与另一个平面_______
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，_________，_________ a⊥β
图形语言
[提醒]
交线
垂直
a α
a⊥l
[提醒]
(1)定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
想一想
如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？
提示：正确．
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
【答案】 D
【解析】 在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
?预习自测
2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________.
【答案】 平行
【解析】 因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
题型探究 提技能
【答案】 B
题型一
垂直关系的相互转化
【解析】对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥ AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确．
[方法总结1]
[方法总结1]
空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
１
(多选)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ
【答案】 CD
【解析】 由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′ α，则α⊥β，所以C正确，对于D显然正确，故选CD.
题型二
平面与平面垂直的性质及应用
【证明】 (1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，
由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG 平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，∴AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
[方法总结2]
[方法总结2]
由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个平面内；②直线必须垂直两平面交线；
2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线．
2
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
【证明】在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，
因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形，
所以B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥平面A1BC1，
因为B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
题型三
空间垂直关系的综合应用
【证明】 (1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥平面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.
又BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知四边形ABED为平行四边形，因为AB⊥AD，
所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为点E，F分别是CD，PC的中点，所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
[方法总结3]
[方法总结3]
1．熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路；
2．垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明．
3
如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
【证明】 (1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC．
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA．
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA．
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC．
(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC．
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形．
随堂检测 重反馈
1．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【答案】 D
【解析】 如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D中命题错误．
2．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
【答案】 C
【解析】 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC．∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C．又CC1 平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C．
3．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
【答案】 A
【解析】 连接AC1(图略)．∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A．
4．如图,在四面体ABCD中,平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________.
【答案】 45°
【解析】 如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.
微专题 二面角的求法
方法一 定义法求二面角
【解析】 取AB的中点D，连接VD，CD，
∵在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，
∴△VAB为等边三角形，
∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，
而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，
∴二面角V－AB－C的大小为60°.
[方法总结1]
[方法总结1]
利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角．
方法二 垂面法求二面角
2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．
(1)求证：平面MNF⊥平面NEF；
(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值．
【解析】 (1)证明：∵N，F均为所在棱的中点，
∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN 平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.
又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形，
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，
∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF.
而MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.
(2)在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.如图所示．
由(1)得知MN⊥平面NEF，
又EF 平面NEF，
∴MN⊥EF.
又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，
∴EF⊥MG.
∴∠MGN为二面角M－EF－N的平面角．
设该正方体的棱长为2.
[方法总结2]
[方法总结2]
二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角．
方法三 垂线法求二面角
3．如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α－BD－β的大小．
【解析】 如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，
作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，
∴由线面垂直的判定定理得BD⊥平面AEF，
由EF 平面AEF，∴BD⊥EF，
∴∠AFE为二面角α－BD－β的平面角．
依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，
[方法总结3]
[方法总结3]
如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用线面垂直的判定定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．
方法四 射影面积法求二面角
4.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小．
【解析】 如图，∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，
同理BC⊥平面PAB.
∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB，
设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ，
[方法总结4]
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1－BC－A的平面角的正切值为( )
【答案】 D第八章 8.6 8.6.3 第二课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 ①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则l∥β或l β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β”的必要条件．∴l∥β是α⊥β的充分不必要条件．故选A．
2．设α－l－β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，则( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
【答案】 C
【解析】 ∵α－l－β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，但可能平行．故选C．
3．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′＝( )
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
【答案】 A
【解析】 由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，设AB＝2a，则BB′＝2asin ＝a，A′B＝2acos ＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.
4．已知在四面体A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体A－BCD的体积为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等边△ABD边长为3，则S△ABD＝AB·AD·sin 60°＝，又BD＝CD＝3，故V四面体A－BCD＝CD·S△ABD＝.故选C．
5．(多选)已知平面α，β，γ和直线l，下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，β∥γ，则α⊥γ
B．若α⊥β，则存在l α，使得l∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【答案】 ABC
【解析】 因为α⊥β，所以存在直线a α，使得a⊥β，又因为β∥γ，所以a⊥γ，又因为a α，所以α⊥γ，故A正确；如图①所示：在长方体中，满足α⊥β，存在这样的直线l α，使得l∥β，故B正确；过直线l上任意一点作直线m⊥γ，根据面面垂直的性质可知：m α，m β，所以m与直线l重合，所以l⊥γ，故C正确；如图②所示：在长方体中，满足α⊥β，l∥α，此时l∥β，故D错误．故选ABC．
6．(多选)如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
【答案】 ABC
【解析】 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立．故选ABC．
7．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系是________.
【答案】 a α或a∥α
【解析】 因为平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，又a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.
8．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.
【答案】 2
【解析】 如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC．可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.
9．已知二面角α－AB－β是直二面角，P是棱AB上一点，PE，PF分别在平面α，β内，∠EPB＝∠FPB＝45°，则∠EPF的大小是________.
【答案】 60°
【解析】 如图，取PE＝PF＝a，作EM⊥AB，垂足为点M，连接FM，EF，因为PE＝PF，PM＝PM，∠EPM＝∠FPM＝45°，所以△EPM≌△FPM，所以EM＝FM＝a，因为二面角α－AB－β是直二面角，所以EM⊥β，又FM β，所以EM⊥FM，EF＝＝a，所以△EPF是等边三角形，∠EPF＝60°.
10．如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝BE.求证：EA⊥平面ABCD.
【证明】 设AF＝EF＝a，则BE＝2a.
如图，过点A作AM⊥BE于点M，
∵AF∥BE，∴AM⊥AF.
又∵AF⊥EF，∴AM∥EF，
又AF＝EF，
∴四边形AMEF是正方形．
∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝a，
∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE 平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.
B组·综合运用
11．正方形ACDE所在的平面与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则CD与GF所成角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．－
【答案】 C
【解析】 连接AG，如图所示．∵四边形ACDE为正方形，∴AE⊥AC，AE∥CD.∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，AE 平面ACDE，∴AE⊥平面ABC．∵AG 平面ABC，∴AE⊥AG.∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，∴AG＝＝，AF＝1，∴FG＝＝，∴cos∠AFG＝＝.∵AE∥CD，∴CD与GF所成角的余弦值为.故选C．
12．(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD
D．平面PAD⊥平面PBC
【答案】 ABC
【解析】 ∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD，故C中说法正确；又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中说法正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B中说法正确；假设平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，与BC∥AD矛盾，故D中说法错误．故选ABC．
13．如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC，则M点的轨迹的长度为________.
【答案】 π
【解析】 因为DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可．又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆(不包含D，C)．又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为＝π.
14．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积．
【解析】 (1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC．
∵G为AD的中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD.
∵CG∩BG＝G，CG，BG 平面BGC，∴AD⊥平面BGC．
又E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，连接BF，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，
∴h＝.
在△BCD中，BF＝BD·cos 60°＝2×＝1，
DF＝BD·sin 60°＝，∴DC＝2，
故S△DCB＝BF·DC＝×1×2＝，
∴VD－BCG＝VG－BCD＝S△DCB·h＝××＝.
C组·拓展提升
15．如图，平行四边形ABCD的边AD所在的直线与菱形ABEF所在的平面垂直，且GB＝GE，AE＝AF.
(1)求证：平面ACG⊥平面ADF；
(2)若AF＝2，________，求二面角C－AG－F的余弦值．从①BC＝AB，②BC＝AG，这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】 (1)证明：∵AE＝AF，∴AE＝AB＝EB，∴△ABE是等边三角形．
∵GB＝GE，∴G为BE中点，故AG⊥BE，
∴AG⊥AF.
∵AD⊥平面ABEF，∴AD⊥AG.
∵AF∩AD＝A，∴AG⊥平面ADF.
∵AG 平面ACG，∴平面ACG⊥平面ADF.
(2)选①.由(1)知AG⊥平面ADF，
∵BC∥AD，BE∥AF，BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF，∴AG⊥平面BCE.
∵CG 平面BCE，GE 平面BCE，
∴AG⊥CG，AG⊥GE，
∴∠CGE为二面角C－AG－F的平面角．
∵BC＝AB＝2，BG＝1，
∴CG＝3，∴cos∠CGB＝，∴cos∠CGE＝－，
∴二面角C－AG－F的余弦值为－.
选②.由(1)得AG⊥平面ADF，
∵BC∥AD，BE∥AF，BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF，∴AG⊥平面BCE.
∵CG 平面BCE，GE 平面BCE，
∴AG⊥CG，AG⊥GE，
∴∠CGE为二面角C－AG－F的平面角．
∵BC＝AG＝，BG＝1，∴CG＝2，
∴cos∠CGB＝，
∴cos∠CGE＝－，∴二面角C－AG－F的余弦值为－.
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