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第九章 统计
9.2 用样本估计总体
9.2.2 总体百分位数的估计
新课程标准解读 学科核心素养
结合实例，理解百分位数的统计含义. 数学抽象
能用样本估计总体百分位数. 数学运算
教材梳理 明要点
某省学业水平考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考．
问题
你知道如何确定需要补考的分数线吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
一般地，考试成绩的第0.8百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有0.8%的分数小于或等于这个值，且至少有(100－0.8)%的数据大于或等于这个值．
知识点 百分位数
1．第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
?新知初探
p%
2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按___________排列原始数据；
第2步，计算i＝____________；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第_____项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的_________.
3．四分位数
________________，________________，________________.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
从小到大
n×p%
j
平均数
第25百分位数
第50百分位数
第75百分位数
想一想
1．班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？
提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．
2．“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
1．判断
(1)一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数．( )
(2)第0百分位数为这组数据中的最小的数，第100百分位数为这组数据中的最大的数．( )
(3)一组数据的某些百分位数可能是同一个数．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
?预习自测
2．某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为( )
A．3 B．4
C．3.5 D．4.5
【答案】 B
【解析】 由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，由6×75%＝4.5，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.故选B．
题型探究 提技能
题型一
总体百分位数的估计
【解析】 把这40名男生的身高数据按从小到大排序，可得
151 156 157 157 158 159 160 160
161 161 162 163 163 163 163 164
164 165 165 166 166 167 167 167
168 168 168 168 168 168 169 169
169 170 171 171 174 174 176 180
由25%×40＝10，50%×40＝20，75%×40＝30，可知样本数据的第25百分位数为161.5，第50百分位数为166，第75百分位数为168.5.据此可估计该校高二男生身高的第25，50，75百分位数分别约为161.5，166和168.5.
[方法总结1]
[方法总结1]
总体百分位数估计需要注意的两个问题
(1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；
(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值．
１
某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
421，399，445，359，415，443，367，454，368，
375，392，400，423，405，412，427，414，423，
430，388，430，357，434，445，451
试估计该品种小麦亩产的第80，95百分位数．
【解析】 将25个样本数据按从小到大排序，可得
357，359，367，368，375，388，392，399，400，
405，412，414，415，421，423，423，427，430，
430，434，443，445，445，451，454
由80%×25＝20，95%×25＝23.75，可知样本数据的第80百分位数为438.5，第95百分位数为第24项数据，为451.
据此估计该品种小麦亩产的第80，95百分位数分别约为438.5和451.
2.某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．
题型二
由频数(频率)分布表求百分位数
(1)A类工人中和B类工人中各应抽查多少人？
(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表①和表②.
表①
生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
人数 4 8 x 5 3
表②
生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
人数 6 y 36 18
先确定x，y的值，再分别计算A类工人和B类工人生产能力的样本数据的60%分位数(保留两位小数)．
(2)由题意知4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，
6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.
A类工人生产能力频率分布表为
生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频率 0.16 0.32 0.20 0.20 0.12
由频率分布表可知，A类工人生产能力在120以下的所占比例为16%＋32%＝48%，
A类工人生产能力在130以下的所占比例为48%＋20%＝68%，
因此，60%分位数一定位于[120，130)内．
可以估计A类工人生产能力的样本数据的60%分位数为126.
B类工人生产能力频率分布表为
由频率分布表可知，B类工人生产能力在130以下的所占比例为8%＋20%＝28%，
B类工人生产能力在140以下的所占比例为28%＋48%＝76%，
因此，60%分位数一定位于[130，140)内．
可以估计B类工人生产能力的样本数据的60%分位数约为136.67.
生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频率 0.08 0.20 0.48 0.24
[方法总结2]
[方法总结2]
由频率(频数)分布表求百分位数的方法
(1)确定p%分位数所在区间[a，b)(并计算小于a的所有数据的频率fa和小于b的所有数据的频率fb)，即p%∈(fa，fb)；
2
从某校随机抽取100名学生，获取了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频率分布表如下：
排号 分组 频数 频率
1 [0，2) 6 0.06
2 [2，4) 8 0.08
3 [4，6) 17 b
4 [6，8) 22 0.22
5 [8，10) 25 0.25
6 [10，12) 12 0.12
(1)求频率分布表中a，b的值；
(2)计算50%分位数，并估计是否有50%的学生的阅读时间达到7.68.
排号 分组 频数 频率
7 [12，14) a 0.06
8 [14，16) 2 0.02
9 [16，18] 2 0.02
合计 100 1
(2)阅读时间小于6小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＝0.31，
阅读时间小于8小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＋0.22＝0.53，
所以50%分位数在[6，8)内，
因为7.73＞7.68，
所以估计有50%的学生的阅读时间达到7.68.
3．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
题型三
由频率分布直方图求百分位数
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；
(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度．
(2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30，35)内，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.
(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
评价：从20%分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度较高．
[方法总结3]
[方法总结3]
由频率分布直方图求百分位数的思路
(1)频率分布直方图中p%分位数表示左侧小矩形的面积之和等于p%的分点值；
(2)由频率分布直方图求百分位数的方法与由频率分布表求百分位数的方法相同；
(3)根据一组数据的直方图来估计这组数据的p%分位数时，直方图的分组越多，组距越小，样本数据的信息损失越少，估计效果越好．
3
为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？
【解析】 由题意知在[80，100)上的频率为0.4，在[100，110)上的频率为0.3，在[110，120)上的频率为0.2，可知第50百分位数一定落在区间[100，110)上，
综上可知，第50百分位数和第70百分位数的估计值分别为103.3 cm，112.5 cm.
随堂检测 重反馈
1．下列一组数据的第25百分位数是( )
2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
【答案】 A
【解析】 把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数．
2．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是( )
A．90 B．90.5
C．91 D．91.5
【答案】 B
3．如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为( )
A．66.5
B．67
C．67.5
D．68
【答案】 C
4．如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的10%分位数为________，日最低气温的80%分位数为________.
【答案】 24 ℃ 16 ℃
【解析】 由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27，因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的10%分位数是第1个数据，为24 ℃.把日最低气温按照从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17，因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的80%分位数是第6个数据，为16 ℃.第九章 9.2 9.2.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第75百分位数为( )
A．9 B．12
C．17.5 D．21
【答案】 C
【解析】 8×0.75＝6，故该组数据的总体的第75百分位数为第6个数和第7个数的平均数＝17.5.故选C．
2．高一年级共有1 000名学生参加物理测试，若所有学生成绩(单位：分)的第80百分位数是75，则物理成绩大于或等于75分的学生数至少有( )
A．200 B．220
C．240 D．260
【答案】 A
【解析】 由1 000×80%＝800，所以小于75分的学生最多有800人，所以大于或等于75分的学生至少有200人．故选A．
3．某班学生体检中检查视力的结果如下表，从表中可以看出，全班视力数据的30%分位数是( )
视力 0.6及以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0及以上
占全班人数的百分比 2% 5% 3% 20% 65% 5%
A．0.9 B．1.0
C．0.7 D．0.6及以下
【答案】 A
【解析】 从表中看出，视力为0.9及以下的人数占的百分比为2%＋5%＋3%＋20%＝30%，所以全班视力数据的30%分位数为0.9.故选A．
4．已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：甲组：27，28，39，40，m，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的30%分位数、80%分位数分别相等，则＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 因为30%×6＝1.8，大于1.8的比邻整数为2，所以30%分位数为n＝28，80%×6＝4.8，大于4.8的比邻整数为5，所以80%分位数为m＝48，所以＝＝.故选A．
5．(多选)已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平均数
【答案】 AC
【解析】 易知选项A正确；当这100个数据均为9.3时，把这100个数据从小到大排列后，9.3不一定是第75个数据，选项B判断错误；把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数，则选项C判断正确，选项D判断错误．故选AC．
6．(多选)某校高一(1)班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．没有人的成绩在30～40分这组内
B．第50百分位数位于60～70分这组内
C．第25百分位数位于40～50分这组内
D．第75百分位数位于70～80分这组内
【答案】 ABC
【解析】 由题图知没有人的成绩在30～40分这组内，故A正确；由40×50%＝20，取第20、21项数据的平均数，所以第50百分位数位于60～70分这组内，故B正确；由40×25%＝10，取第10、11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40～50分这组内，故C正确；由40×75%＝30，取第30、31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60～70分这组内，故D不正确．故选ABC．
7．已知一组数按从小到大顺序排列：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60.则这组数据的第30百分位数为________.
【答案】 37
【解析】 10×30%＝3，所以第30百分位数为＝37.
8．在共有100名学生参加的某项测试中，小张的成绩排名是第75名，小李成绩的百分位数为75，则他们两人中成绩较好的是________.
【答案】 小李
【解析】 因为小李成绩的百分位数为75，所以约有75名学生的成绩比小李低，即小李的排名大约为第25名，因为小张的成绩排名是第75名，所以小李成绩较好．
9．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的第70百分位数约为________秒．
【答案】 16.5
【解析】 设成绩的第70百分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5.
10．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到频率分布直方图：
(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线．
【解析】 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
所以总体400名学生中分数小于70的人数约为400×0.4＝160.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20.
(3)由(2)可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以分数的第15百分位数在[50，60)内，由50＋10×＝55，则本次考试的及格分数线为55分．
B组·综合运用
11．数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是( )
A．[4.5，＋∞) B．[4.5，6.6)
C．(4.5，＋∞) D．(4.5，6.6]
【答案】 A
【解析】 因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A．
12．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有( )
A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14，b＝15
C．a＝12，b＝15.5 D．a＝14.7，b＝15
【答案】 D
【解析】 把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因为10×50%＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b＝＝15.
13．小明班上有15名女生，其身高(单位：cm)的第25百分位数为155，后来转走了一位身高为165 cm的女生，则班上女生身高的第25百分位数________.(填“变大”“变小”或“不变”)
【答案】 不变
【解析】 当班上有15人时，由15×25%＝3.75，可知身高的第25百分位数是第4项数据，当转走1人，剩下14人时，由14×25%＝3.5，可知身高的第25百分位数是第4项数据，所以班上女生身高的第25百分位数不变．
14．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过简单随机抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
【解析】 (1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；
当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y与x之间的函数解析式为
y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.
(3)因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以用电量的75%分位数在[300，400)内，
由300＋100×＝375，所以用电量的75%分位数为375千瓦时．
C组·拓展提升
15．(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
C．甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
D．甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
【答案】 BCD
【解析】 由题图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，A项错误，B项正确；甲的成绩的第80百分位数是＝7.5，乙的成绩的第80百分位数是＝7.5，所以二者相等，C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确．
16．某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x(单位：t)，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据(单位：t)，并将数据按照[0，4)，[4，8)，…，[16，20]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)设该市共有20万居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于12(t)的用户数；
(2)若该市政府希望使85%的居民用户月均用水量不超过标准x(t)，试估计x的值(精确到0.01)；
(3)假设该市最终确定三级阶梯价制如下：
级差 水量基数x(单位：t) 水费价格(元/t)
第一阶梯 x≤14 1.4
第二阶梯 14＜x≤20 2.1
第三阶梯 x＞20 2.8
小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量．
【解析】 (1)由频率分布直方图可得(a＋0.06＋0.11＋a＋0.02)×4＝1，解得a＝0.03.
居民用户月均用水量不超过12(t)的频率为(0.03＋0.06＋0.11)×4＝0.80，
所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于12(t)的用户数为20×0.80＝16(万)．
(2)由频率分布直方图知，居民用户月均用水量不超过12(t)的频率为0.80.
月均用水量不超过16(t)的频率为0.92，则85%的居民用户月均用水量不超过的标准x∈[12，16)，故0.80＋0.03(x－12)＝0.85，解得x≈13.67，即x的值为13.67.
(3)因为19.6＝14×1.4＜28＜14×1.4＋(20－14)×2.1＝32.2.所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费．设小明家上个月的用水量为m(t)，由28＝14×1.4＋(m－14)×2.1，得m＝18，所以小明家上个月的用水量为18(t)．
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