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第九章 统计
9.2 用样本估计总体
9.2.4 总体离散程度的估计
新课程标准解读 学科核心素养
结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差). 数据分析
理解离散程度参数的统计含义. 数学运算
教材梳理 明要点
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本(如表所示)检查它们的抗拉强度(单位：kg/mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为125 kg/mm2.
问题
哪种钢筋的质量较好？
?情境导入
[提示]
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
[提示]
在样本平均数相同的情况下，样本总体离散程度小的数据稳定质量较好．
知识点 总体离散程度的估计
1．平均距离
?新知初探
绝对值
2．方差、标准差
方差
标准差
3．总体方差、总体标准差
[提醒]
[提醒]
标准差、方差的意义
①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差；②标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性；③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
1．下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是( )
A．极差 B．平均数
C．方差 D．标准差
【答案】 B
【解析】 平均数描述数据的集中趋势，极差、方差、标准差描述数据的离散程度．故选B．
?预习自测
2．已知有样本数据2，4，5，6，8，则该样本的方差为( )
A．5 B．4
C．2 D．0
【答案】 B
3．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
则应派________参赛最为合适．
【答案】 丙
【解析】 由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
题型探究 提技能
题型一
标准差、方差的计算与应用
[方法总结1]
[方法总结1]
1．计算方差常用公式
2．具有线性关系的数据的平均数和方差
１
(1)现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )
A．40.6，1.1 B．48.8，4.4
C．81.2，44.4 D．78.8，75.6
【答案】 (1)A (2)A
2.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
题型二
分层随机抽样的方差
[方法总结2]
[方法总结2]
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
2
在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表：
A．2.2 B．2.6
C．2.5 D．2.4
【答案】 D
题型三
方差、标准差与统计图表的综合应用
【解析】 (1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10，13，12，14，16；
乙：13，14，12，12，14.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
[方法总结3]
[方法总结3]
折线统计图中数学特征的求解技巧
根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小．
3
甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为( )
A．s1＞s2＞s3 B．s1＞s3＞s2 C．s3＞s1＞s2 D．s3＞s2＞s1
【答案】 B
【解析】 比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多、最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间．综上可知s1＞s3＞s2.
随堂检测 重反馈
1．甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙相同 D．不能确定
【答案】 A
【解析】 因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定．故选A．
2．若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】 D
【解析】 数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.故选D．
3．样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( )
【答案】 D
4．(多选)高一某班的同学在学习了“统计”后，进行了交流讨论．
甲同学说：“平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标．”
乙同学说：“众数刻画了总体中个体的稳定或波动程度．”
丙同学说：“方差越小，表明个体越整齐，波动越小．”
丁同学说：“两组样本数据对比分析时，极差较大的一组数据其方差也较大．”
其中说法正确的是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】 AC
【解析】 平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标，甲的说法正确；方差刻画了总体中个体的稳定或波动程度，乙的说法错误；方差越小，表明个体越整齐，波动越小，丙的说法正确；两组样本数据对比分析时，一组数据极差较大不能说明其方差也较大，丁的说法错误．故选AC．
【答案】 乙 甲第九章 9.2 9.2.4
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知一组数据为－1，1，2，4，4，8，通过该组数据得到如下结论：①中位数是4；②平均数是3；③极差是9；④方差是48.其中正确的序号为( )
A．①②③ B．②③
C．②③④ D．③④
【答案】 B
【解析】 一组数据为－1，1，2，4，4，8，对于①，中位数是＝3，故①错误；对于②，平均数是(－1＋1＋2＋4＋4＋8)＝3，故②正确；对于③，极差是8－(－1)＝9，故③正确；对于④，方差是[(－1－3)2＋(1－3)2＋(2－3)2＋(4－3)2＋(4－3)2＋(8－3)2]＝8，故④错误．故选B．
2．已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是( )
A．这五位同学年龄的平均数变为19
B．这五位同学年龄的中位数变为19
C．这五位同学年龄的方差仍为0.8
D．这五位同学年龄的方差变为3.8
【答案】 D
【解析】 甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为16，方差为0.8，三年后，这五位同学年龄的平均数变为16＋3＝19，故A正确；这五位同学年龄的中位数变为16＋3＝19，故B正确；这五位同学的方差不变，仍为0.8，故C正确，D错误．故选D．
3．已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是( )
【答案】 D
【解析】 选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D．也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大．
4．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为s2，则( )
A．＝5，s2＝2 B．＝5，s2＝1.6
C．＝4.9，s2＝1.6 D．＝5.1，s2＝2
【答案】 B
【解析】 设这10个数据分别为：x1，x2，…，x7，x8＝4，x9＝5，x10＝6，根据题意＝5 x1＋x2＋…＋x7＝35，＝2 (x1－5)2＋(x2－5)2＋…＋(x7－5)2＝14，所以＝＝＝5，s2＝＝＝1.6.故选B．
5．(多选)甲、乙两位同学6次的数学成绩统计如图，则下列说法正确的是( )
A．若甲、乙两组数据的平均数分别为1，2，则1＞2
B．若甲、乙两组数据的方差分别为s，s，则s＜s
C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D．乙成绩比甲成绩稳定
【答案】 AB
【解析】 甲测试成绩明显高于乙，所以1＞2，因此A选项说法正确；根据数据的波动情况来看，甲的波动小，所以s＜s成立，故B选项说法正确；通过图象可以看到甲成绩的极差小于乙成绩的极差，故C选项说法错误；根据数据的波动情况来看，甲的波动小，所以甲成绩比乙成绩稳定，故D选项说法错误，故选AB．
6．(多选)一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是( )
A．这组新数据的平均数为6
B．这组新数据的平均数为9
C．这组新数据的方差为1
D．这组新数据的方差为4
【答案】 BD
【解析】 由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，(x1－6)2＋(x2－6)2＋…＋(xn－6)2＝n，则＝＝9，
＝＝4，所以这组新数据的平均数为9，方差为4.故选BD．
7．为了考查某种小麦的长势，从中抽取10株麦苗，测得苗高(单位：cm)为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的极差是________.
【答案】 11
【解析】 苗高数据中最大的为19，最小的为8，所以极差为19－8＝11.
8．“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献．全球共有40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达800万公顷．某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件(肥力、日照、通风……)不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为：甲＝1 042 kg/亩，s＝6.5，乙＝1 042 kg/亩，s＝1.2，则________品种更适合在该村推广．(填“甲”或“乙”)
【答案】 乙
【解析】 已知甲＝1 042 kg/亩，s＝6.5，乙＝1 042 kg/亩，s＝1.2，所以甲＝乙，s＞s，所以乙品种更适合在该村推广．
9．为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从(1)班抽取了12名学生的成绩，他们的平均分为91分，方差为3，从(2)班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，方差为5，则合在一起后的样本均值为________，样本方差为________.
【答案】 90.2 4.76
【解析】 样本均值＝＝90.2，
样本方差s2＝＝4.76.
10．某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低)．去年测评的数据如下：
甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；
乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；
(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；
(3)根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？
【解析】 (1)甲学校人民满意度测评数据的平均数为甲＝×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，
中位数为＝99，
乙学校人民满意度测评数据的平均数为乙＝×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，
中位数为＝99.
(2)甲学校人民满意度测评数据的方差为s＝×[(96－100)2＋(112－100)2＋…＋(98－100)2]＝55.25，
乙学校人民满意度测评数据的方差为s＝×[(108－100)2＋(101－100)2＋…＋(106－100)2]＝29.5.
(3)由(1)(2)可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好．
B组·综合运用
11．某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间(单位：h)做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数＝3，方差s2＝2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.6，2＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，s＝3，则高三学生每天读书时间的平均数3＝( )
A．3.3或2.7 B．3.3
C．2.7 D．4.5或3.2
【答案】 B
【解析】 由题意可得2.003＝×[1＋(2.6－3)2]＋×[2＋(3.2－3)2]＋×[3＋(3－3)2]，解得3＝3.3或3＝2.7.∵3＝2.7时，≠3，∴x3＝3.3.
12．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学各自的五次点数统计结果如下：
甲：平均数为3，中位数为2；
乙：中位数为3，众数为2；
丙：中位数为3，极差为4；
丁：平均数为2，方差为2.4.
通过以上数据可以判断一定没出现6点的是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】 D
【解析】 若甲5次出现的点数为：1，1，2，5，6，显然平均数为3，中位数为2，会出现6点；若乙5次出现的点数为：2，2，3，5，6，显然中位数为3，众数为2，会出现6点；若丙5次出现的点数为：2，2，3，5，6，显然中位数为3，极差为4，会出现6点；丁的平均数为2，方差为2.4，当有6点时，＝3.2＞2.4，显然不可能，故选D．
13．在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课．假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是( )
A．平均分变大，方差不变
B．平均分变小，方差不变
C．平均分不变，方差变大
D．平均分不变，方差变小
【答案】 D
【解析】 设该班原有n位同学，数学成绩记为a1，a2，a3，…，an，
原平均分0＝，
原方差s＝，该同学回归校园后新平均分1＝＝＝0，即平均分不变．该同学回归校园后新方差s＝＝＝s＜s，即方差变小．故选D．
14．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
【解析】 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
高＝＝45(岁)，
年龄的方差为s＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
＝×38＋×45≈39.2(岁)，
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64.
C组·拓展提升
15．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人射击成绩对应的条形图如图：
以下关于四名同学射击成绩的数学特征判断不正确的是( )
A．平均数相同 B．中位数相同
C．众数不完全相同 D．丙的方差最小
【答案】 D
【解析】 由题图可知，平均数都为5，四组数据的众数不完全相同，中位数相同，均为5.记甲、乙、丙、丁四名同学射击成绩的方差分别为s，s，s，s，则s＝(4－5)2×0.5＋(6－5)2×0.5＝1，s＝(4－5)2×0.3＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＝0.6，s＝(3－5)2×0.3＋(4－5)2×0.1＋(5－5)2×0.2＋(6－5)2×0.1＋(7－5)2×0.3＝2.6，s＝(2－5)2×0.1＋(4－5)2×0.3＋(5－5)2×0.2＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝2.4，所以丙同学射击成绩的方差最大．故选D．
16．某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近一周(7天)进行生活垃圾分类占用时间统计如下：
住户编号 1 2 3 4 5 6
A小区(分钟) 220 180 210 220 200 230
B小区(分钟) 200 190 240 230 220 210
(1)分别计算A、B两个小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
(2)假设A小区有1 000户，为更好地进行生活垃圾分类，市环卫局与A小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
方案一：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错，每位工作人员的月工资按照3 000元(按照28天计算标准)计算；
方案二：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类的效果，每位专职人员(每天工作8小时)的月工资按照4 000元(按照28天计算标准)计算．
①若选择方案一，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②若选择方案二，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③试分析哪个方案的惠民力度大，更值得推广．
【解析】 (1)A＝×(220＋180＋210＋220＋200＋230)＝210(分钟)，
B＝×(200＋190＋240＋230＋220＋210)＝215(分钟)，
s＝×[(220－210)2＋(180－210)2＋(210－210)2＋(220－210)2＋(200－210)2＋(230－210)2]＝，
s＝×[(200－215)2＋(190－215)2＋(240－215)2＋(230－215)2＋(220－215)2＋(210－215)2]＝.
(2)①A小区一个月至少需要1 000÷200＝5位工作人员进行检查和纠错，其费用是5×3 000＝15 000(元)，
每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝15(元)．
②由(1)知，A小区平均每位住户每周需要210分钟进行生活垃圾分类，
则A小区全部住户一个月平均需要210×4×1 000＝840 000(分钟)进行生活垃圾分类，
则A小区一个月至少需要专职人员≈16(位)，
则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝64(元)．
③按照每位住户每个月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案一惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；对于高档小区的居民，可以选择方案二，这只是方便个别高收入住户．
综上，方案一的惠民力度大，更值得推广．
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