第九章 9.2 9.2.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15)，6；[15，20)，8；[20，25)，13；[25，30)，35；[30，35)，46；[35，40)，34；[40，45)，28；[45，50)，15；[50，55)，10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是( )
A．0.69 B．0.46
C．1 D．0.92
【答案】 B
【解析】 由题可知，样本在[35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0.46.
2．2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞，经济效益方面，多项收入也创下历届冬奥会新高．某机构对本届冬奥会各项主要收入进行了统计，得到的数据如图所示：
已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多25亿元，则估计2022年北京冬奥会各项主要收入总和约为( )
A．221亿元 B．203亿元
C．133亿元 D．108亿元
【答案】 B
【解析】 设冬奥会收入总和为x亿元，则x(35.3%－10.8%－12.2%)＝25，所以x＝≈203.故选B．
3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图(如图)．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
【答案】 D
【解析】 由图可知0 ℃均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，故A正确；由图可知七月的平均温差大于5 ℃，而一月的平均温差小于5 ℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，故B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10 ℃，基本相同，故C正确；由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，故D不正确．
4．某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组并绘制成如图所示的频率分布直方图．已知从左至右前4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于或等于80分为优秀且分数为整数)( )
A．18篇 B．24篇
C．25篇 D．27篇
【答案】 D
【解析】 根据题中频率分布直方图可得分数大于或等于80分的频率为1－(0.05＋0.15＋0.35)＝0.45，所以被评为优秀的调查报告有60×0.45＝27(篇)．故选D．
5．(多选)为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图．
下列说法正确的是( )
A．月收入低于5 000元的职工有5 500名
B．如果个税起征点调整至5 000元，估计有50%的当地职工会被征税
C．月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5%
D．根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5 000，6 000)内
【答案】 ACD
【解析】 月收入低于5 000元的职工有10 000×(0.000 1＋0.000 2＋0.000 25)×1 000＝5 500(名)，A正确；如果个税起征点调整至5 000元，由(0.000 25＋0.000 15＋0.000 05)×1 000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正确；月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确．
6．(多选)某地认真贯彻落实二十大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优．据当地统计局公布的数据，绘制出8月份至12月份当地的人均月收入增长率统计图(如图①)与人均月收入统计图(如图②)．现给出如下信息，正确的有( )
A．10月份人均月收入增长率为2%
B．11月份人均月收入约为1 442元
C．12月份人均月收入有所下降
D．从上图可知该地10月份至12月份这三个月与8月份相比人均月收入均得到提高
【答案】 ABD
【解析】 10月份人均月收入增长率为2%，故A正确；11月份人均月收入约为1 428×(1＋1%)≈1 442(元)，故B正确；12月份人均月收入低于10月和11月，但高于8月和9月，选项中没有说明和哪个数据比较后下降了，故C错误；从题图②可知该地10月份至12月份这三个月与8月份相比人均月收入均得到提高，故D正确．
7．数据65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的极差为________.
【答案】 31
【解析】 极差为一组数据中最大值与最小值的差，由数据可知，最大值为94，最小值为63，所以极差为94－63＝31.
8．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图①和图②所示，为了进一步跟踪调查对户型结构满意的户主的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取29位户主，则在对三居室满意的户主中抽取的人数为________.
【答案】 15
【解析】 因为对户型结构满意的户主人数为150×20%＋250×30%＋100×40%＝145，所以抽取的对三居室满意的人数为×75＝15.
9．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．则
(1)图中的x＝________；
(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿．
【答案】 (1)0.012 5 (2)72
【解析】 (1)由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x＝0.012 5.
(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20＝0.12，因此估计有0.12×600＝72(名)学生可以申请住宿．
10．某高校在2024年的自主招生考试成绩中随机抽到100名学生的笔试成绩(满分200分)，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率
第1组 [160，165) 5 0.05
第2组 [165，170) ① 0.35
第3组 [170，175) 30 ②
第4组 [175，180) 20 0.20
第5组 [180，185] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试．
【解析】 (1)由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为＝0.30，故①处应填35，②处应填0.30.
频率分布直方图如图．
(2)因为第3，4，5组共有60名学生，
所以利用分层随机抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为＝，
故第3组应抽取30×＝3(名)学生，
第4组应抽取20×＝2(名)学生，
第5组应抽取10×＝1(名)学生，
所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.
B组·综合运用
11．为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛．根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为( )
A．65分 B．75分
C．85分 D．95分
【答案】 C
【解析】 根据频率分布直方图可知，成绩在[90，100]的频率为0.018×10＝0.18，成绩在[80，90)的频率为0.044×10＝0.44，因为＝0.22，0.18＋0.22＝0.4，所以估计40%成绩较高的学生的分数在[85，100]之间，且最低分数为85，故选C．
12．(多选)某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是( )
A．2023年第四季度的销售额为280万元
B．2023年上半年的总销售额为500万元
C．2023年2月份的销售额为60万元
D．2023年12个月的月销售额的众数为60万元
【答案】 AD
【解析】 第二季度销售额为260万元，第二季度占总销售额的百分比为6%＋9%＋11%＝26%，可得年销售额为1 000万元，2023年第四季度的销售额为1 000×28%＝280万元，故A正确；2023年上半年的总销售额为160＋260＝420万元，故B错误；2023年2月份的销售额为160－1 000×5%－1 000×6%＝50万元，故C错误；2023年12个月的月销售额分别是50，50，60，60，90，110，80，100，120，120，100，60，众数是60万元，故D正确．故选AD．
13．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于100，空气质量为“污染”．如图是某市2022年空气质量指数(AQI)的月折线图．下列关于该市2022年空气质量的叙述中，正确的是________.(填序号)
①全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良；
②每月都至少有一天空气质量为优；
③2月，8月，9月和12月均出现污染天气；
④空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份．
【答案】 ①②③
【解析】 对于①，根据AQI指数月折线图可知，全年的平均AQI指数都小于100，故全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良，故①正确；对于②，每月中AQI指数的最小值都不超过50，故②正确；对于③，2月，8月，9月和12月的AQI指数的最大值超过了100，故③正确；对于④，从折线图只能知道，2月AQI指数的最大值最大，不能说明2月的空气质量为“污染”的天数最多，故④不正确．
14．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图①是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图②是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
【解析】 (1)由图①知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．即该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，×100%＝36%.即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1 000(人)，×1 000＝160(人)．即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.
C组·拓展提升
15．(多选)百年大计，教育为本．“十四五”规划纲要中，教育作为一个专章被提出.2021年3月1日中华人民共和国教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果，其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如图①②所示．
(说明：高中阶段毛入学率＝在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)
根据图中信息，下列论断正确的有( )
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4 000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2 470万人
【答案】 BD
【解析】 由条形图可知，2018年高中阶段在校生人数比2017年降低了，故选项A错误；近六年高中阶段在校生规模的平均值为4 000＋×(38－30－29－65－5＋128)≈4 006.167(万人)，又4 006.167＞4 000，故选项B正确；2019年未接受高中教育的人数为－3 995≈469(万人)，超过420万人，故选项C错误；2020年普通高中的在校生人数为4 128×60.1%＝2 480.928(万人)，又2 480.928＞2 470，故选项D正确．
16．某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶供学生饮用．某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(每盒各种口味牛奶的体积相同)，绘制了如下两张不完整的人数统计图：
(1)本次被调查的学生有多少名？
(2)补全上面的条形统计图①，并计算出喜好菠萝味牛奶的学生人数在扇形统计图②中所占圆心角的度数；
(3)该校共有1 200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味的多送多少盒？
【解析】 (1)根据喜好核桃味的学生数，得本次被调查的学生数(样本容量)为10÷5%＝200(名)．
(2)喜好香橙味牛奶的学生数是200－38－62－50－10＝40，补全条形图如图，
喜好菠萝味牛奶的学生人数为50，
在扇形统计图中所占圆心角的度数为×360°＝90°.
(3)草莓味要比原味多送的盒数是×(62－38)＝144(盒)．
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第九章 统计
9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
新课程标准解读 学科核心素养
能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性. 数据分析
结合实例，能用样本估计总体的取值规律. 数学运算
教材梳理 明要点
与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就是直方图显示功能．直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的方便．
问题
你知道直方图还有哪些性质及作用吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组上的频率的大小．
知识点一 绘制频率分布直方图的步骤
?新知初探
[提醒]
[提醒]
知识点二 其他统计图
统计图 主要应用
扇形图 直观描述各类数据占总数的比例
条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
1．下面是2020年至2023年我
国人口出生率、人口死亡率和人口
自然增长率的条形图(如图所示)．
人口自然增长率＝人口出生率－人口死亡率．
?预习自测
下面说法正确的是( )
A．2021年后，人口出生率不断提升
B．2020年以来,随着医疗水平不断提升，我国人口死亡率显著下降
C．2021年以来，我国人口增速逐渐放缓
D．2023年人口较2022年减少
【答案】 C
【解析】 根据条形图的特点及作用，对比各相关数据间的关系，即可排除A、B、D，故选C．
2．一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为________.
【答案】 8
【解析】 因为第5组的频率为0.1，故第5组的频数为0.1×40＝4，故第6组的频数为40－10－5－7－6－4＝30－22＝8.
题型探究 提技能
题型一
画频率分布直方图
作出频率分布直方图如图所示．
[方法总结1]
[方法总结1]
1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
2．绘图时，应以横轴表示分组，纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各组频率除以组距的商为高，分别画成矩形，便得到频率分布直方图．
１
从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：
[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[60，90)分的学生比例．
【解析】 (1)频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50) 2 0.04 0.004
[50，60) 3 0.06 0.006
[60，70) 10 0.2 0.02
[70，80) 15 0.3 0.03
[80，90) 12 0.24 0.024
[90，100] 8 0.16 0.016
合计 50 1.00 0.1
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)学生成绩在[60，90)分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%，所以估计成绩在[60，90)分的学生比例为74%.
【答案】 BCD
题型二
频率分布直方图的有关计算问题
[方法总结2]
[方法总结2]
解决与频率分布直方图有关的计算问题的方法
由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
(2)各小长方形的面积之和等于1；
2
(1)某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[5，25](单位：百万元)内，将其分成5组：[5，9)，[9，13)，[13，17)，[17，21)，[21，25]，并整理得到如图所示的频率分布直方图，据此估计其全部销售员工中销售额在区间[9，13)内的人数为( )
A．16
B．22
C．64
D．88
(2)从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]这三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18名学生参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中抽取的学生人数为________.
【答案】 (1)C (2)0.030 3
【解析】 (1)由题意得4×(0.02＋a＋0.09＋0.03＋0.03)＝1，解得a＝0.08，所以销售额在区间[9，13)内的频率为0.32，所以估计全部销售员工中销售额在区间[9，13)内的人数为200×0.32＝64，故选C．
A．56万元
B．65万元
C．91万元
D．147万元
题型三
其他统计图表及应用
【答案】 B
[方法总结3]
[方法总结3]
扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．
(二)条形统计图及其应用
4.为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)求抽取的学生数；
(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．
【解析】 (1)从统计图上可以看出，抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．
[方法总结4]
[方法总结4]
条形图是一种以矩形的长度为变量的统计图，通常用横轴(横轴上的数字)表示样本类别(样本值)，用纵轴上的单位长度表示一定的数量．条形图主要用来比较两个或两个以上类别(只有一个变量)的样本，通常用于较小的数据分析．
(三)折线统计图及其应用
5．(多选)PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35 μg/m3以下时空气质量为一级，在35 μg/m3～75 μg/m3时空气质量为二级，在75 μg/m3以上时空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值(单位：μg/m3)的统计数据，则下列叙述正确的是( )
A．这10天中有4天空气质量为一级
B．这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日
C．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低
D．这10天的PM2.5日均值最低的是11月4日
【答案】 ABC
【解析】 由图表可知，选项A、B、C正确；对于选项D，这10天的PM2.5日均值最低是11月9日，故D错误．
[方法总结5]
[方法总结5]
1．绘制折线统计图时，第一步，确定横轴、纵轴表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可；
2．在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．
3
(1)某校在一个学期的开支如图①所示，在该学期的水、电、交通开支(单位：万元)如图②所示，则该学期的水、电开支占总开支的百分比为( )
A．12.25%
B．16.25%
C．11.25%
D．9.25%
(2)(多选)企业的核心竞争力需要大量研发投入和研发活动作为支撑.研发营收比是指企业的研发投入与营业收入的比值，是一个企业研发投入情况的一项重要指标，如图是某公司2017年到2023年的研发投入和研发营收比的情况，则下列结论正确的是( )
A．该公司的研发投入逐年增加
B．该公司2023年的营业收入超过550亿元
C．2020年该公司的研发营收比最大
D．2020年该公司的营业收入达到最大值
【答案】 (1)B (2)AC
随堂检测 重反馈
1．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则n，p的值分别为( )
A．200，0.015
B．100，0.010
C．100，0.015
D．1000，0.010
【答案】 B
2．(多选)我国第七次人口普查的数据于2021年公布，将我国历次人口普查的调查数据整理后得到如图所示的折线图，则下列说法正确的是( )
A．从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态
B．2000—2020年年均增长率都低于1.5%
C．历次人口普查的年均增长率逐年递减
D．第三次人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点
【答案】 ABD
【解析】 由折线统计图可得，所有的增长率均为正数，所以从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态，故A正确；2000—2020年年均增长率都低于1.5%，其中2000年最高，增长率为1.07%，故B正确；年均增长率在1964—1982年是逐年递增，1982—2020年是逐年递减，故C错误；第三次(1982年)人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点，故D正确．故选ABD．
【答案】 40
4．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图．已知该校在校学生3 000人，根据统计图计算该校共捐款________元．
【答案】 37 770
【解析】 根据统计图，得高一人数为3 000×32%＝960，捐款960 ×15＝14 400(元)；高二人数为3 000×33%＝990，捐款990×13＝12 870 (元)；高三人数为3 000×35%＝1 050，捐款1 050×10＝10 500(元)．所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元)．
