第六章 6.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列四个命题中正确的是( )
A．时间、距离都是向量
B．共起点的相等向量，其终点一定相同
C．所有的单位向量都相等
D．平行向量不一定是共线向量
【答案】 B
【解析】 时间和距离只有大小，没有方向，是数量，不是向量，故A错误；两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故B正确；所有的单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故C错误；平行向量也叫做共线向量，故D错误．故选B.
2．设O是△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
【答案】 B
【解析】 因为O是△ABC的外心，所以||＝||＝||.
3．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A．与共线 B．与共线
C．与相等 D．与相等
【答案】 B
【解析】 因为AB与AC不平行，所以与不共线，A错误；因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故与共线，B正确；因为CD与AE不平行，所以与不相等，C错误；因为与的方向相反，所以与不相等，则D错误．故选B.
4．(多选)点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是( )
A．＝ B．||＝||
C．＝ D．与共线
【答案】 AD
【解析】 因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点，即有＝，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则||与||不一定相等，B不正确；点A，O，B不共线，C不正确；平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有与共线，D正确．故选AD.
5．(多选)下列能使a∥b成立的是( )
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
【答案】 ACD
【解析】 若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b，A正确；若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b，B错误；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b，C正确；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b，D正确．
6．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形ABCD的形状为________.
【答案】 菱形
【解析】 ∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
7．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是________.
【答案】 西北方向5 km
【解析】 根据题意画出图形，如图，由题可知||＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km.
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝___________.
【答案】 0
【解析】 向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反．由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0.
9.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
【解析】 (1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个．
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个．
B组·综合运用
10．下列结论中正确的是( )
A．2 m长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走5 m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【答案】 B
【解析】 一个单位长度取2 m时，2 m长的有向线段刚好表示单位向量，故A不正确；B显然正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故C不正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故D不正确．故选B.
11．(多选)在下列结论中正确的有( )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
【答案】 ACD
【解析】 若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A、C、D正确，B错误．
12．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝___________.
【答案】 1
【解析】 如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则||＝||＝×2＝1.
13．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
【解析】 (1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.所以||的最大值为，最小值为.
C组·拓展提升
14．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有1个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
【答案】 ABC
【解析】 由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确；而在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与共线，因此选项D不正确．
15．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
【解析】 由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等：即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，因为集合元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．
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第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
新课程标准解读 学科核心素养
通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景. 数学抽象
理解平面向量的几何表示和基本要素. 直观想象
理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念. 直观想象
教材梳理 明要点
问题
1．茫茫大海中，一艘小船在航行，如果告诉他，再航行15海里就可以到达B岛，请问他可以到达B岛吗？
2．两车分别以v1＝40 km/h，v2＝50 km/h行驶，2小时以后，你能说出两车的距离是多少吗？
请问以上问题可以解决吗？怎样解决这两个问题呢？
?情境导入
[提醒]
[提示]
两个问题都是有距离没有方向．如果加上运动的方向，两个问题就可以解决了．
知识点一 向量与数量
1．向量：既有_______又有_______的量．
2．数量：只有_______没有_______的量．
?新知初探
[提醒1]
[提醒1]
数量是一个代数量，只有大小没有方向，而向量既有大小又有方向．
大小
方向
大小
方向
知识点二 向量的表示
1．有向线段：具有方向的线段叫有向线段，它包含三要素：_____、_______、_______.以A为起点，B为终点的有向线段记作____，其大小称为向量____的长度(或称模)，记作_____；
2．字母表示：向量可以用字母a，b，c，……表示．
[提醒2]
起点
方向
长度
[提醒2]
(1)向量不能比较大小，但是向量的模可以比较大小．
(2)有向线段是向量的几何表示，并不是说向量是有向线段．
(3)一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段．
知识点三 特殊向量
1．零向量：长度为______的向量叫做零向量，记作______.
2．单位向量：长度为___________长度的向量，叫做单位向量．
[提醒3]
[提醒3]
定义中零向量和单位向量都是限制长度，不确定方向．
0
0
1个单位
知识点四 相等向量和共线向量
1．相等向量：长度_______且方向_______的向量叫做相等向量，记作a＝b.
2．平行向量(共线向量)：方向_______或_______的_______向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量平行；即对于任意向量a，都有0∥a.
[提醒4]
[提醒4]
共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
相等
相同
相同
相反
非零
1．下列物理量中，向量有__________，数量有________.(填序号)
①质量 ②年龄 ③重力 ④角度 ⑤加速度 ⑥面积 ⑦速度 ⑧身高
【答案】 ③⑤⑦ ①②④⑥⑧
【解析】 力，速度，加速度既有方向又有大小，所以它们是向量；而质量，年龄，角度，面积和身高只有大小，没有方向，所以他们是数量．所以向量是③⑤⑦.
?预习自测
2．判断
(1)单位向量都是相等向量．( )
(2)长度相等的向量叫做相等向量．( )
(3)两个非零向量平行，则表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
【解析】 (1)单位向量的方向不一定相同．
(2)长度相等的向量方向不一定相同，所以不一定是相等向量．
(3)两个非零向量平行是指这两个向量的方向相同或相反，所以表示这两个向量的有向线段所在的直线可以是重合的．
3．在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，判断是否存在下列关系的向量：
(1)是共线向量的有________；
(2)模相等的向量有________.
【答案】 (1)a和d，e和b (2)a，c，d
【解析】 (1)a∥d，e∥b，故a和d，e和b是共线向量．
(2)由勾股定理可知，模相等的向量有a，c，d.
题型探究 提技能
1.(多选)下列说法中正确的有( )
A．单位向量的长度大于零向量的长度
B．零向量与任一单位向量平行
D．向量就是有向线段
题型一
向量的基本概念
【答案】 ABC
[方法总结1]
[方法总结1]
1．判断一个量是否为向量的两个关键条件
(1)有大小；
(2)有方向．两个条件缺一不可．
2．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向；
(3)两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等．
１
(多选)下列命题中正确的是( )
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】 AD
【解析】 根据单位向量的概念知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；根据共线向量的概念知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；向量不能够比较大小，故C错误；根据相等的向量的概念知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确．故选AD.
题型二
共线向量与相等向量
【解析】 因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD；
[方法总结2]
[方法总结2]
(1)找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量；
(2)找相等向量：找方向相同，长度相等的线段；
(3)共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．
2
如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：
(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？
3.在如图的方格纸中(小正方形的边长为1)，画出下列向量．
题型三
向量的表示及应用
[方法总结3]
[方法总结3]
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
3
一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地．
随堂检测 重反馈
1．下列命题中正确的有( )
A．温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．若|a|>|b|，则a>b
【答案】 C
【解析】 温度没有方向，所以不是向量，故A错误；由共线向量的定义可知，共线的向量，起点不同，终点可能相同，故B错误；向量不可以比较大小，故D错误；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C正确．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 A
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
【答案】 A
