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第六章 平面向量及其应用
6.2.4 向量的数量积
新课程标准解读 学科核心素养
通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 数学抽象
通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 数学运算
会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 逻辑推理
第一课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
教材梳理 明要点
我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ.
?情境导入
问题
1．显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？
2．给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由．
[提示]
[提示]
1．功W是力F与位移s的大小及其夹角余弦的乘积．
2．可类比W＝|F||s|·cos θ.可得a·b＝|a||b|cos θ.
2．垂直：如果a与b的夹角是______，则称a与b垂直，记作______.
?新知初探
[知识点反思1]
非零向量
∠AOB＝θ
0≤θ≤π
同向
反向
a⊥b
[知识点反思1]
1．两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角；
知识点二 两个向量的数量积
1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
[规定][知识点反思2]
[规定]
零向量与任一向量的数量积为0.
[知识点反思2]
1．数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；
2．向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
2．性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ；
(2)a⊥b _________；
a·b＝0
≤
投影
投影
[知识点反思3]
[知识点反思3]
1．向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；
2．如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0.
【答案】 C
?预习自测
2．已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量a在向量e上的投影向量是________.
【答案】 －1
题型探究 提技能
题型一
两向量的夹角
[方法总结1]
[方法总结1]
求两个向量夹角的方法
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出；
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
１
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【答案】 C
2.(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b；
题型二
直接用数量积公式求数量积
[方法总结2]
[方法总结2]
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
2
A．－7 B．7
C．25 D．－25
(2)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________.
3.(1)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量是( )
A．－4e B．4e
C．－2e D．2e
(2)已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量．若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________.
【答案】 (1)A (2)4
题型三
投影向量
[方法总结3]
[方法总结3]
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).
3
已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________.
随堂检测 重反馈
【答案】 C
【答案】 A
3．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为( )
【答案】 D
4．两个向量的夹角的取值范围是________.当a与b同向时，夹角为________.当a与b反向时，夹角为________.
【答案】 [0，π] 0 π
【解析】 根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，当a与b同向时，夹角为0，当a与b反向时，夹角为π.第六章 6.2 6.2.4 第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，则a·b＝( )
A．－3 B．3
C．3 D．－3
【答案】 B
【解析】 a·b＝|a|·|b|cos ＝2×3×＝3.
2．对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是( )
A．a·b≥|a|·|b|
B．a·b≤|a|·|b|
C．a·b＞|a|·|b|
D．a·b＜|a|·|b|
【答案】 B
【解析】 设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[－1,1]，则a·b＝|a|·|b|·cos θ≤|a|·|b|.
3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
【答案】 C
【解析】 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)．
4．(2024·潍坊阶段检测)已知|m|＝6，|n|＝3，m·n＝－12，则向量m在向量n方向上的投影向量的长度为( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
【答案】 B
【解析】 依题意，向量m在向量n方向上的投影向量的长度为＝＝4.
5．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是( )
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．非零向量a，b共线时其夹角为0
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．|a|＝
【答案】 CD
【解析】 a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；非零向量a，b共线时其夹角为0或π，所以B错误；由数量积的定义知，C正确；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝，所以D正确．
6．(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是( )
A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a＋b)＝λa＋λb
D．若a与b为非零且不垂直向量，则|a|＝
【答案】 ACD
【解析】 选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误．
7．(2024·江苏苏州)已知正△ABC，则向量与的夹角为________.(用弧度表示)
【答案】
【解析】 根据平面向量夹角的定义可得结果．如图：延长AB到D，则∠CBD为与的夹角，所以，与的夹角为.
8．已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________.
【答案】 b
【解析】 与b方向相同的单位向量为＝b，所以向量a在向量b上的投影向量为·＝b.
9．两个单位向量a与b的夹角为，则a·a＋a·b＝________.
【答案】
【解析】 两个单位向量a与b的夹角为，a·a＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|cos θ＝12＋1×1×cos ＝1＋＝.
10．已知|a|＝4，|b|＝2，求分别在下列条件下a·b的值：
(1)〈a，b〉＝120°；
(2)a⊥b；
(3)a∥b.
【解析】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.
(2)因为a⊥b，所以a·b＝0.
(3)因为a∥b，所以a与b的夹角为0°或180°，
所以a·b＝±|a||b|＝±(4×2)＝±8.
B组·综合运用
11．已知|a|＝|b|＝3，e是与b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为e，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【答案】 B
【解析】 根据题意，设a与b的夹角为θ.已知向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe＝e，|a|＝3，则有cos θ＝.又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
12．(2024·河北承德)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 由2＝＋，得点O是BC的中点，而O是△ABC的外接圆圆心，则AB⊥AC，又||＝||，于是△AOC是正三角形，∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，AB＝BC，显然·＝||||cos 30°＝||2，所以向量在向量上的投影向量为＝.
13．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】 D
【解析】 由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.
14．(多选)(2024·河北石家庄)下列说法正确的是( )
A．向量a在非零向量b上的投影向量可表示为·
B．若a·b＜0，则a与b的夹角θ的范围是
C．已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角为时，向量a在向量e上的投影向量为0
D．若两非零向量a与b的夹角为θ，当a·b＝|a||b||cos θ|时，θ必为锐角
【答案】 ABC
【解析】 根据投影向量的定义，知A正确；∵a·b＝|a||b|cos θ＜0，则cos θ＜0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；a在e上的投影向量为|a|cos e＝6×0e＝0，故C正确；由题意知，a·b＝|a||b|cos θ＝|a||b||cos θ|，所以cos θ＝|cos θ|，则θ可能为锐角，也可能θ＝，故D错误．
C组·拓展提升
15．已知⊙O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两个切点．若PO＝3，求·的值．
【解析】 由题意PA⊥OA，PB⊥OB，∠APO＝∠BPO.
设PO＝x，则PA＝PB＝.
设∠APO＝∠BPO＝θ，
则cos θ＝，cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－，
所以·＝||||cos 2θ＝(x2－1)＝x2＋－3.
因为PO＝x＝3，
所以·＝9＋－3＝.
16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB上靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
【解析】 (1)由已知可得＝，连接MA，MB(图略)，
四边形OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－(＋)＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，
那么只需求MC的最大值与最小值即可．
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，
则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为.
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