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第六章 平面向量及其应用
6.2.4 向量的数量积
第二课时 向量数量积的运算
新课程标准解读 学科核心素养
理解向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积运算. 数学抽象
掌握向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模、夹角问题. 逻辑推理
会用数量积判断两个向量的垂直关系. 逻辑推理
教材梳理 明要点
通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律即λ(μa)＝(λμ)a，分配律即(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)．
问题
向量的数量积是否也满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法分配律？
?情境导入
[提示]
[提示]
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
知识点 向量数量积的运算律
1．向量数量积的运算律
(1)a·b＝______(交换律)；
(2)(λa)·b＝_________＝_______(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．
2.向量数量积的常用结论
(1)(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
(2)a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)；
(4)a2＋b2＝0 a＝b＝0.
?新知初探
[提醒]
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
[提醒]
1．向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；
2．(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
想一想
1．向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？
提示：不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运算结果是向量．
2．已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角对吗？
提示：不对．若θ＝π时，a·b＜0.
1．已知|a|＝2，|b|＝3，则(2a－3b)·(2a＋3b)＝________.
【答案】 －65
【解析】 (2a－3b)·(2a＋3b)＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65.
?预习自测
3．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______.
题型探究 提技能
1.(1)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则(a－2b)·(a＋b)＝______.
题型一
数量积求解的综合问题
【答案】 (1)3 (2)22
[方法总结1]
方法总结1]
数量积运算的综合问题一般涉及两类
(1)求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题；
(2)涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解．
１
(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________.
2.已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为120°，那么|a－4b|＝( )
题型二
向量模的计算
【答案】 B
[方法总结2]
[方法总结2]
求向量的模的基本思路
2
(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( )
【答案】 B
方向一 求两向量的夹角
题型三
向量的夹角与垂直
[方法总结3]
[方法总结3]
求两向量夹角的方法
3
已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )
【答案】 A
方向二 利用数量积解决向量的垂直问题
4.已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求实数m为何值时，c与d垂直．
【解析】 由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.
∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，
[方法总结4]
[方法总结4]
向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．
4
已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，当b⊥(2a－λb)时，实数λ为( )
A．1 B．2
【答案】 C
随堂检测 重反馈
1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)＝( )
【答案】 C
【解析】 由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
【答案】 C
【答案】 B
4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ＝________.第六章 6.2 6.2.4 第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝( )
A．1 B．－4
C．－ D．
【答案】 C
【解析】 由已知，得e1·e2＝|e1||e2|cos ＝，∴a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－，故选C．
2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ＝( )
A． B．－
C．± D．1
【答案】 A
【解析】 ∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.
3．已知向量a，b满足|a|＝2|b|＝2，且|2a－b|＝，则|b－a|＝( )
A．1 B．2
C． D．
【答案】 B
【解析】 因为(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4×22＋12－4a·b＝15，所以a·b＝，故|b－a|＝＝＝＝2.
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ＝( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
【答案】 B
【解析】 由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，两边平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2，∴2a·b＝－|a|2，则2|a||b|cos θ＝－|a|2，∴cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
5．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论中正确的有( )
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【答案】 ACD
【解析】 根据数量积的分配律知A正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；显然D正确．故正确结论的选项是ACD.
6．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是( )
A．|a＋b|＝1 B．a⊥b
C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1
【答案】 CD
【解析】 分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A错误；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确．
7．已知向量⊥，||＝3，则·＝________.
【答案】 9
【解析】 ∵⊥，∴·＝·(－)＝·－2＝·－9＝0，即·＝9.
8．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k＝________.
【答案】
【解析】 ∵a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝0，∴k＋(1－2k)cos －2＝0，解得k＝.
9．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，|a＋b|＝|a－b|，则向量a与向量a＋b的夹角为________.
【答案】
【解析】 设向量a与向量a＋b的夹角为θ，∵|a＋b|＝|a－b|，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，∴|a＋b|＝4，∴cos θ＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
10．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.
【解析】 (1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7，
∴1－2×1×2×cos θ＋4＝7，
∴cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵a⊥c，∴a·(ta＋b)＝0，
∴ta2＋a·b＝0，∴t＋1×2×＝0，
∴t＝1，
∴c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×＋4＝3，
∴|c|＝.
B组·综合运用
11．已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，|a＋2b|＝＝，|a－2b|＝＝，∴(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝··cos 120°，化简得a2－2b2＝0，∴＝.
12．在△ABC中，2＝·＋·＋·，则△ABC一定是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】 C
【解析】 由题可得2－·＝·＋·，即·(－)＝·(－)，即·＝·，∴·＋·＝0，∴·(＋)＝0，即·＝0，即⊥，∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，故选C．
13．已知单位向量m，n满足m⊥n，若向量c＝m＋n，则向量m与向量c夹角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 设向量m与向量c的夹角为θ，向量c＝m＋n，则|c|＝＝3，m·c＝m2＋m·n＝，则有cos θ＝＝，又0≤θ≤π，则sin θ＝＝.
14．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－3b)·(a＋b)＝3.
(1)求|a＋b|的值；
(2)求向量a与a－2b的夹角．
【解析】 (1)∵(a－3b)·(a＋b)＝3，
∴|a|2＋a·b－3a·b－3|b|2＝3，
∴4－2a·b－3＝3，即a·b＝－1，
故|a＋b|＝＝
＝＝.
(2)设向量a与a－2b的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
∵|a－2b|＝＝
＝＝2，
∴cos θ＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与a－2b的夹角为.
C组·拓展提升
15．(2024·亳州阶段性检测)已知a是平面内的向量且|a|＝2，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________.
【答案】 [0,2]
【解析】 ∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cos θ(θ为a与b的夹角)或|b|＝0，又θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤2.
16.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动(含C，D点)．
(1)若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值；
(2)若AB＝2，当·＝1时，求cos∠EAF的值．
【解析】 (1)∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点，
∴＝＝，＝－＝－，
∴＝＋＝－＋，
又＝λ＋μ，
∴λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝.
(2)设＝m(0≤m≤1)，
则＝＋＝－m，
又＝＋＝＋，·＝0，
∴·＝·(－m)＝－m2＋2＝－4m＋2＝1，
故m＝.∴·＝·＝2＋2＝3＋2＝5，
易得||＝，||＝，
∴cos∠EAF＝＝＝.
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