第六章 6.2 6.2.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．(2024·北京高一下期中)如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．b－a＋c D．b－a－c
【答案】 C
【解析】 由题图可知，＝＋＝－＋＝b－a＋c.故选C．
2.－＋＋＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.
3．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则必有( )
A．四边形ABCD是矩形
B．＝0或＝0
C．＝0
D．四边形ABCD是正方形
【答案】 A
【解析】 由四边形可知，B、C错误；在平行四边形ABCD中，＋＝，－＝，由题知||＝||，即平行四边形的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，A正确；易知四边形ABCD不一定是正方形，故D错误．
4．在边长为1的正三角形ABC中，|－|＝( )
A．1 B．2
C． D．
【答案】 D
【解析】 如图，作菱形ABCD，则|－|＝|－|＝||＝.
5．(多选)设b是a的相反向量，则下列说法正确的是( )
A．a与b的长度必相等
B．a∥b
C．a与b一定不相等
D．a是b的相反向量
【答案】 ABD
【解析】 方向相反、长度相同的两个向量互为相反向量，故A、B、D正确；∵0与0互为相反向量，但0与0相等．故选ABD.
6．(多选)下列各式化简结果为零向量的有( )
A．＋＋ B．－＋－
C．－－ D．＋＋－
【答案】 ABD
【解析】 ＋＋＝＋＝0，故A符合题意；－＋－＝＋－＝－＝0，故B符合题意；－－＝－＝＋＝2，故C不符合题意；＋＋－＝＋(－)＝＋＝0，故D符合题意．故选ABD.
7.如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝________.
【答案】 0
【解析】 －＋－＋＝＋＋＋＋＝0.
8．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【答案】 0 2
【解析】 若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
9．已知四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是________.
【答案】 平行四边形
【解析】 ∵＋＝＋，∴－＝－ ＝，∴BA＝CD，BA∥CD，则四边形ABCD是平行四边形．
10．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，AB∥CD，CD＝2AB，＝a，＝b，用a，b表示下列各式．
(1)；
(2)＋－.
【解析】 (1)由题图知＝＋＋＝－b＋a＋b＝a＋b.
(2)＋－＝＋＝＝＋＝a＋(b＋2b)＝a＋b.
B组·综合运用
11．已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋，则下列结论正确的是( )
A．点P在△ABC内部
B．点P在直线BC上
C．点P在直线AB上
D．点P在直线AC上
【答案】 D
【解析】 ∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝＋，－＝，即＝.故点P在边AC所在的直线上．
12．(多选)下列各式的化简结果为的是( )
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
【答案】 ABC
【解析】 (－)－＝＋＋＝，故A正确；－(＋)＝－0＝，故B正确；－(＋)－(＋)＝－(＋)－(＋)＝－－＝－(＋)＝－＝，故C正确；－－＋＝2＋≠，故D不正确．故选ABC．
13．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的有( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b的模相等
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
【答案】 ABD
【解析】 当a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有||a|－|b||＜|a±b|＜|a|＋|b|.当a，b同向时，有|a＋b|＝|a|＋|b|，||a|－|b||＝|a－b|.当a，b反向时，有|a＋b|＝||a|－|b||，|a|＋|b|＝|a－b|.故选ABD.
14．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求：
(1)|a＋b＋c|；
(2)|a－b＋c|.
【解析】 (1)由已知得a＋b＝＋＝，
∵＝c，∴延长AC到E，使||＝||，如图所示，
则a＋b＋c＝且||＝2.
∴|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，则＋＝，
而＝－＝－＝a－b，
∴|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
C组·拓展提升
15．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的取值范围是________.
【答案】 2 (0,4)
【解析】 易知－＋＝＋＋＝，因为菱形ABCD的边长为2，所以向量－＋的模为2.易知＝＋，且||－||＜|＋|＜||＋||，所以||的取值范围为(0,4)．
16．如图，在 ABCD中，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
【解析】 (1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
(2)由(1)知，a＋b＝，a－b＝.
∵a＋b与a－b所在直线互相垂直，
∴AC⊥BD.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|.
(3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||.
∵矩形的两条对角线相等，
∴当a与b所在直线互相垂直，即AD⊥AB时，满足|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能．∵ ABCD的两条对角线不可能平行，∴a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．
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第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.2 向量的减法运算
新课程标准解读 学科核心素养
理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义. 数学抽象
掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算. 直观想象
能熟练地进行向量的加、减综合运算. 直观想象、逻辑推理
教材梳理 明要点
我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？
问题
1．类比实数X的相反数－X，对于向量a，你能定义“相反向量”－a吗？它有哪些性质？
2．你认为向量的减法该怎样定义？
?情境导入
[提示]
[提示]
向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
知识点一 相反向量
1．定义：与向量a长度_______，方向_______的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质：(1)零向量的相反向量仍是零向量；
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(3)如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
?新知初探
[提醒1]
相等
相反
[提醒1]
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
知识点二 向量的减法运算
1．向量减法的定义
向量a加上b的___________，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
[提醒2]
[提醒2]
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
相反向量
[提醒3]
向量b
向量a
[提醒3]
1．作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”；
2．在向量减法的定义中，如果从a的终点指向b的终点作向量，所得向量是b－a.
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列互为相反向量的是( )
?预习自测
【答案】 C
A．a B．a＋b
C．b－a D．a－b
【答案】 D
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．相反向量就是方向相反的向量
C．两个向量的差仍是一个向量
D．相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量
【答案】 BC
【答案】 0
题型探究 提技能
1.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
题型一
向量的减法及其几何意义
[方法总结1]
[方法总结1]
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可；
(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
１
题型二
向量的加减混合运算
【答案】 (1)D (2)D
[方法总结2][提醒]
[方法总结2]
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加、减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；
(2)起点相同且为差．
[提醒]
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
2
题型三
向量加减法的综合应用
[方法总结3]
[方法总结3]
1．解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道；
2．主要应用向量加、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．
3
随堂检测 重反馈
1．下列向量关系式中，正确的是( )
【答案】 D
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
【答案】 B
【答案】 BD
【答案】 a＋c－b
