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第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
新课程标准解读 学科核心素养
理解并掌握向量加法的概念. 数学抽象
了解向量加法的几何意义及运算律. 直观想象
了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 直观想象、逻辑推理
教材梳理 明要点
俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天鹅、梭子鱼和虾》的故事，故事的大意是这样的：有一天，天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车货物，天鹅想，我的家在天上应该把货物拉到我家，于是，天鹅伸长脖子拼命往天上飞．梭子鱼想，我的家在河里，应该往河里拉，于是，梭子鱼使劲往河里拽．虾想，我的家在池塘里，应该把货送到池塘，于是，虾弓着身子往池塘拉，他们三个累得精疲力尽，车子却纹丝不动．
?情境导入
问题
1．车子为什么纹丝不动？这则故事给我们的启示是什么？
2．我们知道，数量能进行运算，因为有了运算而使数的变换无穷，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？
[提示]
[提示]
1．努力的方向不对，付出再多也是徒劳．
2．向量的运算可以类比力的合成来进行运算．
知识点一 向量加法的定义及三角形法则
1．向量加法的定义
求两个向量_____的运算，叫做向量的加法．
2．三角形法则
?新知初探
[提醒1]
和
三角形
[提醒1]
运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”．
2．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
[提醒2][思考]
平行四边形
[提醒2]
三角形法则作图特点是“首尾相接”，平行四边形法则作图特点是“共起点”．
[思考]
对于任意两个非零向量求和都能使用三角形法则和平行四边形法则吗？
提示：三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当两个向量不共线时，两种加法法则在本质上是一致的．
知识点三 向量加法的运算律及模之间的关系
1．向量加法的运算律
(1)加法交换律：a＋b＝__________；
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝___________.
2．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤_________，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．
[提醒3]
b＋a
a＋(b＋c)
|a|＋|b|
[提醒3]
1．已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和；
2．首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
A．a＋b B．a－b
C．2a＋b D．2a－b
【答案】 A
?预习自测
【答案】 0
4.如图所示，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
题型探究 提技能
1. (1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
题型一
向量的加法运算法则
[方法总结1]
[方法总结1]
求作和向量的方法
(1)利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和．一定要注意首尾相接；
(2)利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和．
１
【答案】 (1)B (2)1
2.化简：
题型二
向量加法运算律的应用
[方法总结2]
[方法总结2]
1．当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立；
2．多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)；
2
①a＋b＋c＝________；
②b＋d＋c＝________.
【解析】 作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形．
题型三
向量加法的实际应用
[母体探究]
变式1：(变条件)本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角)．
变式2：若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km
[方法总结3]
[方法总结3]
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题；
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题；
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
随堂检测 重反馈
【答案】 D
【答案】 C
3．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】 A
【解析】 因为向量的加法满足交换律和结合律，所以(a＋c)＋b＝b＋(a＋c)＝b＋(c＋a)＝c＋(a＋b)＝c＋(b＋a)＝a＋b＋c.
4.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：第六章 6.2 6.2.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．在四边形ABCD中，＋＋＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 ＋＋＝＋＋＝.
2．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
【答案】 B
【解析】 如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km.
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则向量＋＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 因为在平行四边形ABCD中，＝，所以＋＝＋＝.
4．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD为( )
A．矩形 B．正方形
C．平行四边形 D．菱形
【答案】 C
【解析】 易知＝＋，所以＝，无法判断其他关系，则四边形ABCD是平行四边形．
5．(多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
【答案】 AC
【解析】 由题意，向量a＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D不正确．故选AC．
6．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是( )
A．＋＝ B．＋＋＝
C．＋＋＝ D．＋＋＝0
【答案】 ACD
【解析】 由向量加法的平行四边形法则可得＋＝，故A正确；由向量加法的三角形法则可得＋＋＝＋＝＋＝，故B错误；由向量加法的平行四边形法则可得＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝0，故D正确．故选ACD.
7．化简：(＋)＋(＋)＋＝________.
【答案】
【解析】 (＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝.
8．已知||＝||＝1，且∠AOB＝60°，则|＋|＝________.
【答案】
【解析】 以OA，OB为邻边，构造平行四边形OACB(图略)，则＋＝，由∠AOB＝60°，得||＝.
9．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿________的方向前进，速度为________.
【答案】 与水流方向成60° 8 km/h
【解析】 如图所示，∵OB＝4，OA＝4，∴OC＝8，∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h.
10．如图所示，在△ABC中，O为△ABC的重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
【解析】 (1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
B组·综合运用
11．下列说法正确的是( )
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同
B．若向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同
C．若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|
【答案】 B
【解析】 若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的，A错误；若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同，B正确；当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0，C错误；|a＋b|≤|a|＋|b|，D错误．
12．(多选)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的有( )
A．＋＋＝0
B.＋＋＝0
C．＋＋＝
D.＋＋＝
【答案】 ABC
【解析】 ＋＋＝＋＝0，故A正确；＋＋＝＋＋＝0，故B正确；＋＋＝＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋0＝＝≠，故D错误．故选ABC．
13．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值的和为________.
【答案】 24
【解析】 当a与b同向共线时，|a＋b|max＝20；当a与b反向共线时，|a＋b|min＝4，所以|a＋b|的最大值与最小值的和为24.
14．如图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．求证：＋＝＋.
【证明】 ∵＝＋，＝＋，∴＋＝＋＋＋，又与大小相等，方向相反，∴＋＝0，∴＋＝＋.
C组·拓展提升
15．P为四边形ABCD所在平面上一点，＋＋＋＝＋，则P为( )
A．四边形ABCD对角线的交点
B．AC的中点
C．BD的中点
D．CD边上一点
【答案】 B
【解析】 因为＝＋，＝＋，＋＋＋＝＋，所以＋＝＋，所以＋＝0.所以P为线段AC的中点．故选B.
16．如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大．
【解析】 设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为a，b，c，则a＋b＋c＝0.
因为a，b的合力为c′＝a＋b，所以|c|＝|c′|.
如图在平行四边形OB′C′A′中，
因为⊥，＝，
所以||>||，||>||，即|a|>|b|，|a|>|c|.
故细绳OA受力最大．
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