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第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
新课程标准解读 学科核心素养
了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义. 数学抽象
理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算. 逻辑推理
理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题. 逻辑推理
教材梳理 明要点
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
1．类比实数的运算，可以，即a＋a＋a＝3a.
2．3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．
知识点一 向量的数乘运算及运算律
1．向量的数乘
(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_______，这种运算叫做向量的数乘，记作____.
(2)规定：①|λa|＝_______；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向_______；当λ＜0时，λa的方向与a的方向_______；当λ＝0时，λa＝_____；(－1)a＝______.
?新知初探
向量
λa
|λ||a|
相同
相反
0
－a
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝________；
(2)(λ＋μ)a＝_________；
(3)λ(a＋b)＝_________.
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
[提醒]
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
[提醒]
1．向量的数乘仍是向量；
2．实数λ与向量不能相加；
3．若λa＝0，则λ＝0或a＝0；
知识点二 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在_____________实数λ，使_______.
唯一一个
b＝λa
想一想
共线向量定理中为什么规定a≠0
提示：(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
(2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线；
(3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一一个实数λ矛盾.
(2)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( )
(3)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数)．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
【解析】 (1)由向量数乘的定义可知正确．
(2)当a＝0时，λ不一定存在．
(3)由共线向量定理可知正确．
?预习自测
2．已知非零向量a，b满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b|
B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同
D．a与b的方向相反
【答案】 C
【解析】 ∵a＝4b,4＞0，∴|a|＝4|b|且a与b方向相同．
【答案】 C
题型探究 提技能
题型一
向量的线性运算
[方法总结1]
[方法总结1]
向量线性运算的方法
(1)向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数；
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，合并同类项，系数化为1等步骤求解．
１
(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，则4a－3b＝________(用e1，e2表示)．
(2)已知向量a，b，未知向量x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝________，y＝________.
【答案】 (1)－5e1＋23e2 (2)3a＋2b 4a＋3b
【解析】 (1)∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，∴4a－3b＝4(e1＋2e2)－3(3e1－5e2)＝－5e1＋23e2.
(2)由3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，即y＝4a＋3b.∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
题型二
向量共线的判定及应用
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
[方法总结2]
[方法总结2]
1．证明或判断三点共线的方法
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．若两向量不共线，必有向量的系数为零．
2
(1)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
【答案】 (1)D (2)1
题型三
用已知向量表示未知向量
[方法总结3]
[方法总结3]
用已知向量表示未知向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
3
随堂检测 重反馈
1．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的有( )
①m(a－b)＝ma－mb ②(m－n)a＝ma－na ③若ma＝mb，则a＝b ④若ma＝na，则m＝n
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
【答案】 B
【解析】 对于①，m(a－b)＝ma－mb，故①中命题正确；对于②，(m－n)a＝ma－na，故②中命题正确；对于③，当m＝0时，由0·a＝0·b，不能得到a＝b，故③中命题错误；对于④，当a＝0时，由ma＝na，不能得到m＝n，故④中命题错误．故选B.
2．(多选)下列运算正确的是( )
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
【答案】 ABD
【解析】 根据向量数乘运算和加、减运算律知A、B、D正确；C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误．
【答案】 0第六章 6.2 6.2.3
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列各组向量中，一定能推出a∥b的是( )
①a＝－3e，b＝2e
②a＝e1－e2，b＝－e1
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
【答案】 B
【解析】 ①中，a＝－b，所以a∥b；②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线．
2．已知a，b为两个不共线的向量，向量－ta＋b(t∈R)与a－b共线，则实数t＝( )
A． B．±
C． D．±
【答案】 D
【解析】 因为向量－ta＋b与a－b共线，则存在实数λ，使－ta＋b＝λ，有－t2＝－，解得t＝±，故选D.
3．在平行四边形ABCD中，＝2，＝，记＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【答案】 B
【解析】 由向量的线性运算，用，表示，因为＝2，＝，则有＝，＝＝，所以＝＋＝a＋b.
4．(多选)下列说法正确的有( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0)
B．若a∥b，则b＝λa(λ∈R)
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
【答案】 AD
【解析】 当λ＞0时，a与λa方向相同，当λ＜0时，a与λa方向相反，故A正确；当a≠0时，结论才成立，故B错误；当|b|＝2|a|时，b与2a不一定共线，故C错误；显然当b＝±2a时，|b|＝2|a|，故D正确．
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0
C．已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
【答案】 AB
【解析】 选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量，不是共线向量，即不能判定a，b共线．故选AB.
6．(2024·河南郑州高一下期中)点C在线段AB上，且＝，则下列选项正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝－
【答案】 A
【解析】 因为点C在线段AB上，且＝，所以＝＝，＝，＝＝－，故A正确，B、C、D错误．
7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ＝__________.
【答案】 ±
【解析】 由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±.
8．已知O，A，B是平面内任意不共线的三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝________.
【答案】 －2
【解析】 解法一：因为点P在直线AB上，所以＝λ，λ∈R，－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，所以所以x＝－2.
解法二：因为P在直线AB上，即A，B，P三点共线，所以3＋x＝1，即x＝－2.
9．(2024·潍坊高一阶段性检测)设D为△ABC所在平面内一点＝3，求(用，表示)．
【解析】 因为＝3，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
B组·综合运用
10．已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】 B
【解析】 由于a，b为不共线的非零向量，向量和，向量和显然没有倍数关系，根据共线向量定理，它们不共线，A、C选项错误；＝＋＝a＋5b＝，于是A，B，D三点共线，B选项正确；＝＋＝－a＋13b，显然和没有倍数关系，D选项错误．故选B.
11. (多选)如图，△ABC 中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线， 它们交于点G，则下列各等式中正确的是( )
A．＝
B．＝
C．＋＝
D．＝－2
【答案】 ACD
【解析】 因为在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，所以G是△ABC的重心．所以＝，A选项正确；＝－，B选项错误；＋＝＋＝＝，C选项正确；＝－2，D选项正确．
12．在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．
【解析】 解法一：如图所示，在 ABCD中，设AC交BD于点O，
则点O平分AC和BD.
∵＝3，∴＝，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，∴MN＝BO，
∴＝＝＝(b－a)．
解法二：＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a)．
C组·拓展提升
13．已知O为△ABC内一点，且＋3＋4＝0，则△ABO与△ABC的面积比为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 设线段AC，BC的中点分别为D，E，如图所示，由＋3＋4＝0，得＋＝－3－3＝－3(＋)，即2＝－3×2，故＝－3，所以点O在△ABC的中位线DE上，即h△ABO＝h△ABC，S△ABO＝AB·h△ABO，S△ABC＝AB·h△ABC，故S△ABO＝S△ABC，故选C．
14．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，且＝ke1－4e2，＝－e1＋ke2，＝e1＋2e2.
(1)若，方向相反，求k的值；
(2)若A，C，D三点共线，求k的值．
【解析】 (1)由题意知，∥，则存在λ∈R，使得＝λ，即ke1－4e2＝λ(－e1＋ke2)，整理，得(k＋λ)e1＝(kλ＋4)e2，又e1，e2是不共线向量，所以解得或因为，方向相反，所以故k＝2.
(2)＝＋＝(k＋1)e1－2e2，由A，C，D三点共线，得存在μ∈R，使得＝μ，即(k＋1)e1－2e2＝μ(－e1＋ke2)，整理，得(k＋μ＋1)e1＝(kμ＋2)e2，又e1，e2是不共线向量，所以解得或故k＝1或k＝－2.
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