第六章 6.3 6.3.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的向量是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】 B
【解析】 由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底，与不共线，可作为基底．故选B.
2．下列说法中错误的是( )
A．一个平面内只有一对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底
B．一个平面内有无数多对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底
C．零向量不可以作为基底中的向量
D．一对不共线的单位向量可以作为基底
【答案】 A
【解析】 平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内，任意一对不共线的向量都可构成表示该平面内所有向量的一个基底，故A错误，B、D正确；零向量与任一向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故C正确．
3．在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设＝a，＝b，则＝( )
A．－a＋b B．a－b
C．－a－b D．a＋b
【答案】 A
【解析】 由题意＝－＝－＝(＋)－＝－＝－＝－a＋b.故选A．
4．(多选)如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且＝4，若＝m＋n，其中m，n∈R，则( )
A．m＋n＝ B．m－n＝
C．2m＝3n D．3m＝2n
【答案】 ABC
【解析】 在平行四边形中＝，＝，＝＋，因为E是AC的中点，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝4，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝m＋n，所以＝＋，所以解得所以m＋n＝，m－n＝，2m＝3n，故选ABC．
5．(多选)点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则有( )
A．＝－a－b B．＝a－b
C．＝a＋b D．＝－a
【答案】 AD
【解析】 如图，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确．故选AD.
6.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
【答案】
【解析】 由题意，得＝(＋)．又＝＝－，所以＝(－＋2)＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝.
7．在△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，则用a，b表示＝________.
【答案】 (b－a)
【解析】 由题意得＝＝(－)＝(－)＝(b－a)．
8.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)
【答案】 a＋b
【解析】 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
9．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________.
【答案】 9
【解析】 考虑以{，}为基底来计算．∵＝3，＝2，∴＝＋，＝－＝－＋，∴·＝·＝2－2＝×36－×16＝9.
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
【解析】 (1)证明：若a，b共线，则存在k∈R，使a＝kb，则e1－2e2＝k(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得，
所以k不存在，故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
又e1与e2是不共线的非零向量，
所以
B组·综合运用
11．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．菱形
【答案】 C
【解析】 因为＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC．故四边形ABCD为梯形．故选C．
12．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1μ2－λ2μ1＝0
D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
【答案】 ACD
【解析】 根据平面向量的基本定理可知A正确，B错误；根据共线向量定理，存在唯一的实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)，即消去λ可得λ1μ2－λ2μ1＝0，故C正确；若实数λ，μ有一个不为0，不妨设λ≠0，则e1＝－e2，此时e1，e2共线，这与已知矛盾，所以λ＝μ＝0，故D正确．故选ACD.
13．在△ABC中，D是直线AB上的点．若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则＝________.
【答案】
【解析】 依题意作图，设＝μ＝μ(－)＝－μ＋μ，由条件＝＋，∴μ＝－，＝μ＝－，＝－，∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，∴＝＝.
14．设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a＞0，b＞0)．若A，B，C三点共线，求＋的最小值．
【解析】 ∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，即(a－1)e1＋e2＝bλe1－2λe2.
∵e1，e2不共线，∴
解得
∵a＞0，b＞0，∴0＜a＜1，
∴＋＝＋＝＝＝＝.
当a＝时，＋取得最小值，最小值为4.
C组·拓展提升
15．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
【证明】 如图，设＝a，＝b，D，E，F分别为△ABC三边的中点，
则＝(a＋b)，＝a－b.
设AD与BE相交于点G1，且＝λ，＝μ，则＝(a＋b)，＝a－μb.
因为＝＋＝a＋(1－μ)b，
所以解得λ＝μ＝，即＝.
再设AD与CF相交于点G2，
同理可得＝，
故点G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于一点，故三角形的三条中线交于一点．
16.如图，在△ABC中，点P满足＝2，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F.
(1)若＝，求的值；
(2)若＝λ(λ>0)，＝μ(μ>0)，求＋的最小值．
【解析】 (1)因为＝2，
所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，
因为O是线段AP的中点，所以＝＝＋，
又因为＝，设＝x，则有＝＋，
因为E，O，F三点共线，所以＋＝1，解得x＝，即AE＝AB，
所以＝.
(2)因为＝＋＝＋λ＝(1＋λ)，＝＋＝＋μ＝(1＋μ)，
由(1)可知，＝＝＋，所以＝＋，
因为E，O，F三点共线，所以＋＝1，即2λ＋μ＝3，
所以＋＝·(2λ＋μ＋1)≥＝，
当且仅当μ＋1＝λ，即λ＝4－2，μ＝4－5时取等号，
所以＋的最小值为.
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第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
新课程标准解读 学科核心素养
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 数学抽象
掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量. 逻辑推理
教材梳理 明要点
火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度，在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力．
?情境导入
[提示]
已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．同理平面内任一向量可以用两个不共线的向量来表示．
[提示]
问题
平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？
知识点 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝____________.
2．基底
若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
?新知初探
[提醒]
不共线
任一
有且只有一对
λ1e1＋λ2e2
不共线
[提醒]
1．基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一个基底．同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；
2．基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值．
1．判断
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一个基底．( )
(2)零向量可以作基底中的向量．( )
(3)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
【解析】 (2)零向量与任意向量共线，故不能作基底中的向量．
(3)基底的选择是不唯一的．
?预习自测
2．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是( )
【答案】 AC
【答案】 4e1＋3e2
题型探究 提技能
1.设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一个基底的是________(填序号)．
【答案】 ①②④
题型一
平面向量基本定理的理解
[方法总结1]
[方法总结1]
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
１
已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为________.
【答案】 (－∞，4)∪(4，＋∞)
【解析】 若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
题型二
用基底表示向量
[方法总结2]
[方法总结2]
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
2
【答案】 a＋b 2a＋c
3.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
题型三
平面向量基本定理的应用
[方法总结3]
[方法总结3]
若题中有多组三点共线，可从三点共线出发，列出关于系数的方程组，通过解方程组求解．
3
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】 B
随堂检测 重反馈
【答案】 A
2．如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝( )
A．－2e1－4e2
B．－4e1－2e2
C．e2－3e1
D．－e2＋3e1
【答案】 C
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
【答案】 A
