第六章 6.3 6.3.4
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列向量组中，能作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
【答案】 B
【解析】 对于A，因e1＝0，则有e1∥e2，e1与e2不能作为基底；对于B，因e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)，(－1)×7－2×5≠0，则有e1与e2不共线，e1与e2可作基底；对于C，因e1＝(3,5)，e2＝(6,10)，则有e2＝2e1，e1与e2不能作为基底；对于D，因e1＝(2，－3)，e2＝，则有e1＝4e2，e1与e2不能作为基底．故选B.
2．已知点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为( )
A．(2,16) B．(－2，－16)
C．(4,16) D．(2,0)
【答案】 A
【解析】 设点D(x，y)，＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝(1，－4)，则＝2－3＝(6,2)－(3，－12)＝(3,14)＝(x＋1，y－2)，∴解得即D(2,16)．故选A．
3．已知向量＝(7,6)，＝(－3，m)，＝(－1,2m)，若A，C，D三点共线，则m＝( )
A． B．
C．－ D．－
【答案】 D
【解析】 ＝＋＝(4，m＋6)，因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－(m＋6)，解得m＝－.故选D.
4．(多选)已知a＝(5,4)，b＝(3,2)，则下列向量中与2a－3b平行的向量有( )
A． B．
C．(－2,1) D．(1,2)
【答案】 AD
【解析】 ∵a＝(5,4)，b＝(3,2)，∴2a－3b＝(1,2)，则与2a－3b平行的向量c＝(x，y)需满足y－2x＝0，即y＝2x.选项A，D中向量满足，故选AD.
5．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m＝( )
A．－2 B．
C．1 D．－1
【答案】 ABD
【解析】 因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形．故选ABD.
6．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.
【答案】 －
【解析】 由已知，可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－.
7．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
【答案】 2
【解析】 ∵向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，∴λa＋b＝λ(1,2)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，又向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，∴λ＝2.
8．已知点A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝2|BP|，则点P的坐标为________.
【答案】 (6，－9)
【解析】 设点P的坐标为(x，y)，由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知即点P的坐标为(6，－9)．
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【解析】 解法一(共线向量定理法)：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得解得k＝λ＝－.当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．
解法二(坐标法)：由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－.
这时ka＋b＝＝－(a－3b)，所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
B组·综合运用
10．已知A(－3,0)，B(0，－2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝( )
A．1 B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 由题设知，C在第三象限内，又||＝2且∠AOC＝，所以C(－2，－2)，所以＝(－2，－2)，而＝(－3,0)，＝(0，－2)，则＝λ＋，即(－2，－2)＝λ(－3,0)＋(0，－2)＝(－3λ，－2)，可得λ＝.故选D.
11．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且＝2，那么点C的坐标为( )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4,2)
【答案】 C
【解析】 ＝(4，－7)，设C(x，y)，则＝(x－2，y－3)，∵AD为△ABC的中线，∴＝(＋)＝，又＝2，∴＝＝.∵A(2,3)，G(4，－1)，∴＝(2，－4)，∴解得∴C(4，－2)．故选C．
12．已知A(0,5)，B(－1,0)，C(3,4)，D是BC上一点且△ACD的面积是△ABC面积的，则△ABC的重心G的坐标是________，D的坐标是________.
【答案】 (2,3)
【解析】 由题可得△ABC的重心G的坐标为，即.由题意得＝3.设D(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(3－x,4－y)，所以x＋1＝3(3－x)，y＝3(4－y)，解得x＝2，y＝3，即D(2,3)．
13．如图，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解析】 因为＝＝(0,5)＝，所以C.
因为＝＝(4,3)＝，所以D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，因为∥，＝，
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，∥，所以x－4＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
C组·拓展提升
14．已知向量a＝(0,1)，b＝，c＝，xa＋yb＋zc＝(1,1)，则x2＋y2＋z2的最小值为________.
【答案】
【解析】 由xa＋yb＋zc＝(1,1)，
得即
故从而x2＋y2＋z2＝x2＋＝x2＋2(x－1)2＋＝32＋.故x2＋y2＋z2的最小值为.
15．经过点P(－2,3)的直线分别交x轴，y轴于A，B两点，且||＝3||，求点A，B的坐标．
【解析】 由题设知，A，B，P三点共线，且||＝3||.设A(x,0)，B(0，y)．
①若点P在A，B之间，则有＝3，
∴(－x，y)＝3(－2－x,3)，
∴解得
∴点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)．
②若点P不在A，B之间，则有＝－3，
∴(－x，y)＝－3(－2－x,3)，
∴解得
∴点A，B的坐标分别为，(0，－9)．
综上，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或，(0，－9)．
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第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
新课程标准解读 学科核心素养
掌握数乘向量的坐标运算. 数学运算
理解用坐标表示两向量共线的条件，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 数学抽象
逻辑推理
教材梳理 明要点
贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为505 km.问从A地到E地的行程是多少？”其解答方法是：
贝贝：505＋505＋505＋505＝1 010＋505＋505＝1 515＋505＝2 020(km)．
晶晶：505×4＝2 020(km)．
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给这类问题的解决带来了很大的方便．
?情境导入
问题
1．当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
2．如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
[提示]
[提示]
1．横纵坐标均不为0时成比例．
2．能．将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向．
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝_________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数______________________.
知识点二 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b共线的充要条件是______________.
?新知初探
[提醒]
(λx，λy)
乘原来向量的相应坐标
x1y2－x2y1＝0
[提醒]
1．a∥b(b≠0) a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；
2．a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；
提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义．
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
【答案】 D
?预习自测
2．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝________.
【答案】 9
【解析】 ∵a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，∴－6×(－3)－2m＝0，则m＝9.
3．已知P(2,6)，Q(－4,0)，则PQ的中点坐标为________.
【答案】 (－1,3)
【解析】 根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1,3)．
题型探究 提技能
1.已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)．
题型一
平面向量数乘的坐标运算
[方法总结1]
[方法总结1]
平面向量坐标运算的技巧
(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系；
(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算；
(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
１
(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
【答案】 (1)A (2)见解析
题型二
向量平行(共线)的判定
[方法总结2]
[方法总结2]
向量共线的判定方法
2
3.(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m＝( )
题型三
利用向量共线的坐标表示求参数
【答案】 (1)D (2)见解析
【解析】 (1)由题意，得ma＋4b＝m(2,3)＋4(－1,2)＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)．由于ma＋4b与a－2b共线，∴(2m－4)×(－1)－4(3m＋8)＝0，解得m＝－2.
(2)∵a＝(1,1)，b＝(x,1)，
∴u＝(1,1)＋2(x,1)＝(1,1)＋(2x,2)＝(2x＋1,3)．
v＝2(1,1)－(x,1)＝(2－x,1)．
①∵u＝3v，∴(2x＋1,3)＝3(2－x,1)，
∴(2x＋1,3)＝(6－3x,3)，∴2x＋1＝6－3x，
解得x＝1.
②∵u∥v，∴(2x＋1)×1－3(2－x)＝0，
解得x＝1.
∴u＝(3,3)，v＝(1,1)，u＝3v，
∴u与v同向．
[方法总结3]
[方法总结3]
利用向量共线的坐标表示求参数的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程(组)求参数；
(2)利用向量共线的坐标表示直接求参数．(当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解．)
3
(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m＝( )
(2)如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k＝( )
A．±2 B．－2
C．2 D．0
【答案】 (1)D (2)B
题型四
有向线段定比分点坐标公式及应用
[方法总结4]
4
【答案】 (3,1)或(1，－1)
随堂检测 重反馈
1．已知向量e1＝(－1,2)，e2＝(2,1)，若向量a＝2e1－e2，则向量a的坐标为( )
A．(4,3) B．(－4,3)
C．(－4，－3) D．(0,5)
【答案】 B
【解析】 a＝2e1－e2＝(－2,4)－(2,1)＝(－4,3)．
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】 C
3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m＋1)，a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
【答案】 B
【解析】 依题意a＝(1,2)，b＝(－2，m＋1)，a∥b，所以1×(m＋1)＝－2×2，m＝－5，即b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选B.
