第六章 6.3 6.3.2 6.3.3
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
【答案】 D
【解析】 由题意，向量＝(－2,4)与终点、始点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是(－2,4)，故A错误；同理B点的坐标不一定是(－2,4)，故B错误；当B是原点时，A点的坐标是(2，－4)，故C错误；当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)，故D正确．故选D.
2．设点A在30°角的终边上，||＝2(O是坐标原点)，则向量的坐标为( )
A．(，) B．(，)
C．(－，－) D．(－，－)
【答案】 A
【解析】 因为点A在30°角的终边上，|OA|＝2(O是坐标原点)，所以点A在第一象限，且到原点的距离为2，根据直角三角形的边角关系得，A点的横坐标x＝2cos 30°＝，纵坐标y＝2sin 30°＝，故所求的坐标为(，)．
3．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线为AC，BD，则－＝( )
A．(1,10) B．(5,4)
C．(－4,6) D．(－5,2)
【答案】 C
【解析】 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1,10)，＝－＝(5,4)，∴－＝(1,10)－(5,4)＝(－4,6)．
4．设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则＝( )
A．(1＋m,7＋n) B．(－1－m，－7－n)
C．(1－m,7－n) D．(－1＋m，－7＋n)
【答案】 B
【解析】 ＝＋＋＝－－－＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)＝(－1－m，－7－n)．
5．(多选)下面几种说法正确的有( )
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应唯一的一个向量
D．平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应
【答案】 ABD
【解析】 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A、B、D正确．
6．(多选)已知A(3,2)，B(5,4)，C(6,7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为( )
A．(4,5) B．(8,9)
C．(2，－1) D．(3，－1)
【答案】 ABC
【解析】 设点D的坐标为(x，y)．若是平行四边形ABCD，则有＝，即(5－3,4－2)＝(6－x,7－y)，解得x＝4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为(4,5)，所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有＝，即(5－3,4－2)＝(x－6，y－7)，解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为(8,9)，所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有＝，即(6－3,7－2)＝(5－x,4－y)，解得x＝2，y＝－1，所以所求顶点D的坐标为(2，－1)，所以C正确．综上，顶点D的坐标为(4,5)或(8,9)或(2，－1)．故选ABC．
7．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝________.
【答案】 (2，－3)
【解析】 在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝(2，－3)．
8．已知2 025个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8,15)，则其余2 024个向量的和为________.
【答案】 (－8，－15)
【解析】 设其余2 024个向量的和为(x，y)，则(8,15)＋(x，y)＝(0,0)，∴(x，y)＝(－8，－15)．
9．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n＝________.
【答案】 －3
【解析】 ∵a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
10．已知向量与a＝(6，－8)的夹角为π，且||＝|a|，若点A的坐标为(－1,2)，求点B的坐标．
【解析】 由题意知，与a方向相反，又||＝|a|.
∴＋a＝0.
设B(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，
∴解得
故点B的坐标为(－7,10)．
B组·综合运用
11．已知点A(1,1)，B(2,4)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是( )
A．(2,2) B．(3,3)
C．(1,3) D．(3,4)
【答案】 C
【解析】 ∵点A(1,1)，B(2,4)，∴＝(1,3)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化，∴＝＝(1,3)．故选C．
12．若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取{i，j}作为基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 D
【解析】 向量a对应的坐标为(x2＋x＋1，－x2＋x－1)．∵x2＋x＋1＝2＋＞0，－x2＋x－1＝－2－＜0.∴向量a对应的坐标位于第四象限．
13．已知A(7,2)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a＝________.
【答案】
【解析】 设点C，由于＝，所以＝，则解得
14. (2024·内蒙古呼伦贝尔高一下阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)以A为坐标原点AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求点M的坐标．
【解析】 依题意建立直角坐标系，求得A，B，D的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示即可得解．
(1)由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O，
所以＝＝(＋)＝(a＋b)，
因为M为BO中点，所以＝(＋)＝＝a＋b.
(2)依题意，建立直角坐标系，如图，
因为AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，
所以A(0,0)，D(2,0)，B(1×cos 60°，1×sin 60°)，即B，
则a＝＝，b＝＝(2,0)，
所以＝a＋b＝＋(2,0)＝.
故点M的坐标为.
C组·拓展提升
15．(2024·辽宁抚顺高一下阶段检测)在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算．那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积．这些我们还都没学到．现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)．请按这种运算，解答如下两道题．
(1)已知a＝(1,2)，b＝(2,3)，求a b.
(2)已知a＝(1,2)，a b＝(6,5)，求b.
【解析】 (1)因为a＝(1,2)，b＝(2,3)，a b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)，
所以a b＝(1×2－2×3,1×3＋2×2)＝(－4,7)．
(2)设b＝(x，y)，
因为a＝(1,2)，a b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)，
所以a b＝(x－2y,2x＋y)，
因为a b＝(6,5)，所以(x－2y,2x＋y)＝(6,5)，
解得
即b＝.
16．(2024·北京海淀高一下期中)根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若＝x＋y，求x－y.
【解析】 建立如图所示平面直角坐标系：
设DC＝2a(a>0)，则EC＝a，DE＝a，
则A(0,0)，B(2a,0)，D(0,2a)，DF＝(＋1)a，
所以xF＝(＋1)a·cos 30°，yF＝2a＋(＋1)a·sin 30°，即F，
所以＝，＝(2a,0)，＝(0,2a)，
因为＝x＋y，
所以＝x(2a,0)＋y(0,2a)，则
则2ax－2ay＝a－a＝－a，化简得x－y＝－.
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第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
新课程标准解读 学科核心素养
借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 数学抽象
理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则. 数学运算
教材梳理 明要点
如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底．
问题
向量a如何表示？
?情境导入
[提示]
[提示]
如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
1．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)向量的坐标表示
?新知初探
互相垂直
[提醒]
终点A
[提醒]
1．表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y)；
2．当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同；
3．向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关．
知识点二 平面向量坐标的加、减运算
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有：
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
终点
起点
1．判断
(1)如果a＝xi＋yj，那么向量a的坐标为(x，y)，即a＝(x，y)．( )
(2)向量的坐标与向量终点的坐标一致．( )
(3)平面上一个向量对应平面上唯一的坐标．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
【解析】 (1)i，j不一定是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量．
(2)向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致；否则不一致．
?预习自测
A．(1,2)
B．(－1，－2)
C．(2,4)
D．(－2，－4)
【答案】 C
【答案】 (4,6)
题型探究 提技能
题型一
平面向量的坐标表示
【答案】 (1)(－4,0) (0,6) (－2，－5) (2)见解析
【解析】 (1)将各向量分别向基底i，j所在直线分解，
则a＝－4i＋0j，所以a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，所以b＝(0,6)，c＝－2i－5j，所以c＝(－2，－5)．
[方法总结1]
[方法总结1]
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；
(2)在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
１
A．(－2,1) B．(1，－2)
C．(2，－1) D．(－1,2)
题型二
平面向量的坐标运算
A．(－2,2) B．(－1,0)
C．(3，－1) D．(4，－1)
【答案】 (1)D (2)D (3)A
[方法总结2]
[方法总结2]
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算；
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算；
(3)向量的坐标运算可类比数的运算进行．
2
3.在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)．
题型三
平面向量坐标运算的应用
[方法总结3]
[方法总结3]
坐标形式下向量相等的条件及应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等；
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
3
随堂检测 重反馈
A．(1,1)
B．(－1，－2)
C．(2,3)
D．(－2，－3)
【答案】 D
2．已知向量a＝(2,4)，a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
【答案】 A
【解析】 b＝a＋b－a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
【答案】 A
【答案】 (0,4)
