第六章 6.3 6.3.5
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．向量a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．5
【答案】 D
【解析】 由题意得，2a＋b＝(2，－4)＋(－1,2)＝(1，－2)，所以(2a＋b)·a＝1×1＋(－2)×(－2)＝5.故选D.
2．已知向量a＝(3，－2)，b＝(m,1)，若a⊥b，则a－3b＝( )
A．(0,5) B．(5,1)
C．(1，－5) D．
【答案】 C
【解析】 因为a⊥b，所以3m－2＝0，解得m＝，所以a－3b＝(3，－2)－3＝(1，－5)．故选C．
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A． B．2
C．4 D．12
【答案】 B
【解析】 a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.∴|a＋2b|＝＝2.
4．设点A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 ∵四边形OABC是平行四边形，∴＝，即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)，∴a＝6，∴＝(4,2)，＝(2,6)，设向量与的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝，又θ∈(0，π)，∴与的夹角为.
5．(多选)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3,2)，c＝(1,1)，则( )
A．a∥b B．(a＋b)⊥c
C．a＋b＝c D．c＝5a＋3b
【答案】 BD
【解析】 由2×2－(－3)×(－1)≠0知，A错误；由题意得a＋b＝(－1,1)，所以(a＋b)·c＝－1＋1＝0，所以B正确，C错误；由题意得5a＋3b＝5(2，－1)＋3(－3,2)＝(1,1)＝c，所以D正确．故选BD.
6．(多选)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,1)，则( )
A．a与a－b夹角的余弦值为
B．(a＋b)∥a
C．向量a在向量b上的投影向量的模为
D．若c＝，则a⊥c
【答案】 ACD
【解析】 由题意得，a－b＝(5,0)，所以a与a－b夹角的余弦值为＝，故A正确；由题意得，a＋b＝(－1,2)，所以(a＋b)·a＝－1×2＋1×2＝0，所以(a＋b)⊥a，故B不正确；易知＝＝＝－，所以向量a在向量b上的投影向量的模为，故C正确；因为a＝(2,1)，c＝，所以a·c＝2×＋1×＝0，所以a⊥c，故D正确．故选ACD.
7．设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.
【答案】 －1
【解析】 由题意得ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.
8．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.
【答案】 5
【解析】 ∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
9．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝________.
【答案】
【解析】 设b＝(x，y)．∵|b|＝＝1，∴x2＋y2＝1.∵a·b＝x＋y＝，∴x2＋[(1－x)]2＝1.∴4x2－6x＋2＝0.∴2x2－3x＋1＝0.∴x1＝1，x2＝，∴y1＝0，y2＝.∵(1,0)是与x轴平行的向量，舍去，∴b＝.
10．已知a＝(2,1)，|b|＝2.
(1)若a∥b，求b的坐标；
(2)若(5a－2b)⊥(a＋b)，求a与b的夹角．
【解析】 (1)因为a∥b，所以可设b＝λa＝(2λ，λ)，
则|b|＝＝|λ|＝2，解得λ＝±2.
因此b＝(4,2)或b＝(－4，－2)．
(2)由已知可得|a|＝＝，
因为(5a－2b)⊥(a＋b)，所以(5a－2b)·(a＋b)＝5a2－2b2＋3a·b＝3a·b－15＝0，
故a·b＝5，
所以cos〈a，b〉＝＝，
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
B组·综合运用
11．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，则n·＝( )
A．－2 B．2
C．－2或2 D．0
【答案】 B
【解析】 ∵＋＝，∴n·(＋)＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
12．(多选)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为( )
A．－ B．
C． D．
【答案】 ABC
【解析】 ∵＝(2,3)，＝(1，k)，∴＝－＝(－1，k－3)．若A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；若C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝.故所求k的值为－或或.
13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝，则·＝________.
【答案】
【解析】 建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)，因为＝2，所以F.所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝，所以·＝(2,1)·＝2×＋1×2＝.
14．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
【解析】 (1)设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2.
可得
所以或
因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4)．
(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－，
所以cos θ＝＝－1.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
C组·拓展提升
15．已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是( )
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．不确定
【答案】 A
【解析】 因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞，即＞A＞－B＞0，又因为函数y＝sin x在上单调递增，所以sin A＞sin＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B＞0，设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝＞0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角．
16．(2024·河北保定高一下阶段检测)在等腰梯形ABCD中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(－2,4)，D(－3,0)，＝4.
(1)求·；
(2)若点F在线段CD上，·＝6，求cos〈，〉．
【解析】 (1)依题意，y轴是等腰梯形ABCD的对称轴，则B(2,4)，C(3,0)，由＝4，
得＝＝(－1,4)＝，＝＋＝(6,0)＋＝，
所以·＝×＋3×3＝.
(2)设F(t,0)(－3≤t≤3)，则＝＋＝(3－t,0)＋＝，
·＝＋3×3＝6，解得t＝－，即＝(4,3)，||＝＝5，
而||＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
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第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
新课程标准解读 学科核心素养
能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角. 数学运算
能用坐标表示平面向量垂直的条件. 逻辑推理
教材梳理 明要点
通过前面的学习，我们知道，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，我们可以求出a＋b，a－b以及λa(λ≠0)的坐标．
问题
那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？
?情境导入
[提示]
[提示]
记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2.
知识点 平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则
(1)a·b＝______________，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的___________；
(2)|a|2＝______，或|a|＝____________；
(3)a⊥b _______________＝0(a，b是非零向量)；
(4)若a，b都是非零向量，则cos θ＝_______＝______________.
?新知初探
x1x2＋y1y2
乘积的和
x＋y
x1x2＋y1y2
想一想
向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？
提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x＝( )
?预习自测
【答案】 C
2．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为( )
【答案】 A
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
【答案】 C
4．已知a＝(－1,3)，b＝(2,4)，则a·b的值是________.
【答案】 10
【解析】 a·b＝(－1)×2＋3×4＝10.
题型探究 提技能
1.(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
(2)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12) B．0
C．－3 D．－11
【答案】 (1)B (2)C
题型一
平面向量数量积的运算
【解析】 (1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.
[方法总结1][提醒]
[方法总结1]
数量积坐标运算的方法
进行平面向量的数量积的坐标运算的前提是牢记相关的运算法则和运算性质，通常有两种解题方法：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知进行计算．
[提醒]
如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法求平面向量的数量积．
１
【答案】 5
【答案】 (1)C (2)5
题型二
平面向量的模
[方法总结2]
[方法总结2]
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
2
已知a＝(1，－2)，b＝(x,2)，且a∥b，则|b|＝( )
【答案】 B
题型三
向量的夹角与垂直
[方法总结3]
[方法总结3]
解决向量夹角问题的方法及注意事项
3
(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
随堂检测 重反馈
1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b＝( )
A．23 B．57
C．63 D．83
【答案】 D
【解析】 3|a|2－4a·b＝3×[(－4)2＋32]－4×(－4×5＋3×6)＝83.故选D.
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．0° B．45°
C．60° D．90°
【答案】 D
【解析】 a·b＝2－2＝0，所以a⊥b，所以a与b的夹角为90°.故选D.
3．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝( )
【答案】 A
4．(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】 D
【解析】 b－4a＝(2，x－4)，b⊥(b－4a)，∴b·(b－4a)＝0，∴4＋x(x－4)＝0，∴x＝2，故选D.
5．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是________.
