第六章 6.4 6.4 6.4.3 第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 ∵a＝2，b＝3，c＝，∴由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.故选C．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos A＝，则B＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 由题意cos A＝＝，化简得a2＋c2＝b2，所以B＝，故选C．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝( )
A． B．6
C．7 D．8
【答案】 A
【解析】 ∵A＋C＝，∴B＝π－(A＋C)＝.∵a＝3，c＝2，∴由余弦定理得b＝＝＝.故选A．
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝( )
A． B．8－4
C．1 D．
【答案】 A
【解析】 依题意
两式相减得ab＝.故选A．
5．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】 BD
【解析】 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
6．(多选)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则B＝( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
【答案】 BD
【解析】 由题得tan B＝，根据余弦定理可知cos Btan B＝sin B＝，∴B＝60°或B＝120°.故选BD.
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________.
【答案】
【解析】 因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理的推论，cos B＝＝＝.
8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________.
【答案】
【解析】 由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝，所以sin A＝.则AC边上的高为h＝ABsin A＝3×＝.
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，a2＋c2－ac＝4b－4，则b＝________.
【答案】 2
【解析】 在△ABC中，B＝，a2＋c2－ac＝4b－4，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝4b－4，即b2－4b＋4＝0，解得b＝2.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝asin C，c＝acos B，判断△ABC的形状．
【解析】 由余弦定理知cos B＝，代入c＝acos B，得c＝a·，
所以c2＋b2＝a2，所以△ABC是以A为直角的直角三角形．
又b＝asin C，所以b＝a·，
所以b＝c，所以△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
B组·综合运用
11．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A＝cos(B＋C)，且b＝2，c＝6，则a＝( )
A． B．2
C． D．2
【答案】 D
【解析】 cos 2A＝－cos A＝2cos2A－1，即2cos2A＋cos A－1＝0，解得cos A＝－1(舍去)或cos A＝，在△ABC中，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝28，得a＝2.故选D.
12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，b＝6，c＝4，则中线AD的长为( )
A．2 B．2
C． D．
【答案】 D
【解析】 根据题意，如图，在△ABD和△ADC中由余弦定理得：AB2＝AD2＋DB2－2AD·DBcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，又cos∠ADB＝－cos∠ADC，两式相加得AB2＋AC2＝2AD2＋DB2＋DC2，即42＋62＝2AD2＋42＋42，∴2AD2＝20，∴AD＝.即△ABC的中线AD的长为.故选D.
13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝3，点D在线段BC上，且AD＝，则BD＝________.
【答案】 4或5
【解析】 因为∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝3，所以tan B＝＝＝ B＝，在△ABD中，由余弦定理的推论可知：cos B＝ ＝ BD2－9BD＋20＝0 BD＝4或BD＝5.
14．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
【解析】 (1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，
∴cos A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，
∴△ABC为等边三角形．
C组·拓展提升
15．(2024·临沂阶段性检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)证明：acos B＋bcos A＝c；
(2)若a＝7，b＝5，＝.求△ABC的周长．
【解析】 (1)证明：由题意得acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝c，
所以acos B＋bcos A＝c，得证．
(2)因为＝，所以2ccos A＝bcos A＋acos B，
由(1)可知，2ccos A＝c，即cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得：25＋c2－10c×＝49，即c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)，
所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC的周长为20.
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第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
新课程标准解读 学科核心素养
借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 逻辑推理
掌握余弦定理、正弦定理. 数学运算
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 数学建模
第一课时 余弦定理
教材梳理 明要点
利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角．
问题
例如，如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小．你能根据这三个量求出AB的距离吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
知识点一 余弦定理
?新知初探
平方的和
积的两倍
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_______.已知三角形的几个元素求___________的过程叫做解三角形．
元素
其他元素
1．判断
(1)余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．( )
(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( )
(3)在△ABC中，若a2【答案】 (1)√ (2)× (3)×
【解析】 (2)已知两边及一边的对角，也可以利用余弦定理解三角形．
(3)若a2?预习自测
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＜c2，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 150°
题型探究 提技能
题型一
已知两边及一角解三角形
[方法总结1]
[方法总结1]
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解；
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
１
题型二
已知三角形的三边解三角形
[方法总结2]
[方法总结2]
已知三角形三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
2
【答案】 (1)C (2)见解析
3.(1)在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试判断三角形的形状；
(2)在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
题型三
判断三角形的形状
【解析】 (1)∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)．
∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0.
∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B.
[方法总结3]
[方法总结3]
判断三角形形状的方法
1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：
(1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
(2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
(1)△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
(2)△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2；
(3)△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2；
3
在△ABC中，若2acos B＝c，则该三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
【答案】 A
随堂检测 重反馈
【答案】 B
A．120° B．90°
C．150° D．60°
【答案】 A
3．在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则边长b＝( )
A．5 B．8
C．5或－8 D．－5或8
【答案】 B
【解析】 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.因为b＞0，所以b＝8.
4．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝________.
