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第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第二课时 正弦定理
教材梳理 明要点
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小．
问题
你能借助这三个量，求出AB的长度吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
可以利用三角形中各边和它所对角的正弦的比相等的特性解决该问题．
知识点 正弦定理
?新知初探
[提醒]
正弦
1．判断
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．( )
(2)在△ABC中，bsin A＝asin B总成立．( )
(3)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sinC．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
【解析】 (1)正弦定理适用于任意三角形．
(2)由正弦定理变形可得．
(3)三角形的边与对角的正弦值成比例．
?预习自测
2．在△ABC中，下列等式总能成立的是( )
A．acos C＝ccos A
B．bsin C＝csin A
C．absin C＝bcsin B
D．asin C＝csin A
【答案】 D
【解析】 由正弦定理易知，选项D正确．
3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
【答案】 A
【答案】 B
题型探究 提技能
1.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
题型一
已知两角及一边解三角形
[方法总结1]
[方法总结1]
已知两角及一边解三角形的一般步骤
１
题型二
已知两边及一边的对角解三角形
[母体探究]
变式：(变条件)若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”其他条件不变，解此三角形．
[方法总结2]
[方法总结2]
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
2
A．60° B．60°或120°
C．60°或150° D．120°
【答案】 (1)A (2)B
3.(1)若acos B＝bcos A，则△ABC是________三角形；
(2)若acos A＝bcos B，则△ABC是________三角形．
【答案】 (1)等腰 (2)等腰或直角
题型三
判断三角形的形状
[方法总结3]
[方法总结3]
利用正弦定理判断三角形形状的方法
(1)化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
(2)化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．
3
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是30°的直角三角形
【答案】 C
随堂检测 重反馈
【答案】 A
【答案】 D
3．在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c＝( )
【答案】 C
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 C第六章 6.4 6.4.3 第3课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为( )
A． B．2
C．2 D．4
【答案】 B
【解析】 由题中条件及正弦定理得b＝2c＝4，由面积公式得，△ABC的面积为bcsin A＝×4×2×＝2.故选B.
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△ABC＝absin C＝＝abcos C，可得sin C＝cos C，∵C∈(0，π)，∴C＝.故选A．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】 A
【解析】 ∵asin A－bsin B＝4csin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.故选A．
4．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A． B．5
C．6 D．7
【答案】 B
【解析】 连接BD(图略)．在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.
5．(多选)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是( )
A． B．1
C． D．
【答案】 AD
【解析】 ∵AB＝，AC＝1，B＝，又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，∴BC2－3BC＋2＝0，∴BC＝1或BC＝2，∵S△ABC＝·AB·BC·sin B，∴S△ABC＝或S△ABC＝.
6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是( )
A．a2＝b2＋c2－2bccos A
B．asin B＝bsin A
C．a＝bcos C＋ccos B
D．acos B＋bcos C＝c
【答案】 ABC
【解析】 根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；根据正弦定理，可得asin B＝bsin A ab＝ab，故B正确；根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，故C正确；根据正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bcos C＝cos Asin B，又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式才成立，故D不正确．
7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝3，B＝，则AC边上的高为________.
【答案】
【解析】 在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋9－2×2×3×＝7，解得b＝(负值舍去)，设AC边上的高为h，则S△ABC＝acsin B＝h·b，即×2×3×sin ＝h×，解得h＝.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为________.
【答案】
【解析】 由正弦定理得＝，即＝，解得sin C＝.又c＜a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，所以C＝30°，故B＝90°，所以S＝ac＝×1×＝.
9．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cos A，则a＝________.
【答案】 1
【解析】 因为b＝2，c＝，S＝cos A＝bcsin A＝sin A，所以sin A＝cos A．所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.所以cos A＝.所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1.
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(c－b)(sin B＋sin C)＝(sin C－sin A)a.
(1)求角B；
(2)若c＝4，△ABC的面积为3，求cos C的值．
【解析】 (1)因为(c－b)(sin B＋sin C)＝(sin C－sin A)a，
所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理的推论得cos B＝＝＝.
因为0＜B＜π，所以B＝.
(2)因为c＝4，△ABC的面积为3，
所以acsin B＝3，
即×4a×＝3，解得a＝3.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋16－2×3×4×＝13，所以b＝(负值舍去)，
所以cos C＝＝＝.
B组·综合运用
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为( )
A．8＋ B．9＋
C．10＋ D．14
【答案】 B
【解析】 由题意及三角形的面积公式，得absin C＝5，即a×5×＝5，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝16＋25－2×4×5×＝21，c＝，所以△ABC的周长为9＋.故选B.
12．已知△ABC，则“cos2A＋cos2B－cos2C＞1”是“△ABC为钝角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 因为cos2A＋cos2B－cos2C＞1，故1－sin2A＋1－sin2B－1＋sin2C＞1，故sin2C＞sin2A＋sin2B，故c2＞a2＋b2，故cos C＝＜0，而C为三角形内角，故C为钝角，但若△ABC为钝角三角形，比如取C＝B＝，A＝，此时cos2A＋cos2B－cos2C＝＜1，故cos2A＋cos2B－cos2C＞1不成立，故选A．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝________，b＋c＝________.
【答案】 7
【解析】 由已知及正弦定理可得，2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A，可得2cos Asin(B＋C)＝sin A，即2cos Asin A＝sin A，又sin A≠0，∴cos A＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.由面积公式可得，3＝bcsin A＝bc，即bc＝12.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7.
14．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍．
(1)求的值；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
【解析】 (1)由三角形的面积公式及正弦定理得S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
由题意有S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，故有AB＝2AC．
由正弦定理可得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，
所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理得：
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，①
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC，②
由①②式得AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
又由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
C组·拓展提升
15．(2024·河北邯郸高一下期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋b(sin A＋sin B)－csin C＝0.
(1)求角C；
(2)若a＝2，b＝2，D为AB的中点，求CD的长；
(3)若c＝，求a＋b的取值范围．
【解析】 (1)因为asin A＋b(sin A＋sin B)－csin C＝0，
由正弦定理得a2＋ab＋b2－c2＝0，
由余弦定理得cos C＝＝＝－，
又0
(2)因为D为AB的中点，所以＋＝2，
则(＋)2＝(2)2，
所以2＋2＋2·＝42，
所以(2)2＋22＋2×2×2cos ＝4||2，
解得||＝1，所以CD的长为1.
(3)由正弦定理知＝＝＝＝2，
所以a＝2sin A，b＝2sin B，
所以a＋b＝2(sin B＋sin A)＝2
＝2
＝2＝2sin，
因为0则<2sin<3，
所以a＋b的取值范围为(，3)．
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