第七章 7.1 7.1.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．复数z＝3－6i(i为虚数单位)的虚部为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－6i
【答案】 A
【解析】 由复数的概念知，复数z＝3－6i的虚部为－6.故选A．
2．已知复数z＝m2－9＋(m－3)i，其中i为虚数单位，若复数z为纯虚数，则实数m＝( )
A．－3 B．3
C．±3 D．0
【答案】 A
【解析】 复数z＝m2－9＋(m－3)i为纯虚数，则解得m＝－3，故选A．
3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
【答案】 A
【解析】 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A．
4．已知i为虚数单位，a－bi＝i2(2－i)，其中a，b∈R，则a－b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．3
【答案】 B
【解析】 由题意得a－bi＝－2＋i，由复数相等的充要条件知a＝－2，b＝－1，故a－b＝－1.
5．(多选)下列命题正确的是( )
A．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
B．－i2＝1
C．1＋4i＞3i
D．若z∈C，则z2≥0
【答案】 AB
【解析】 因为a2＋1≥1，所以(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数，故A正确；i2＝－1，所以－i2＝1，故B正确；复数不能比较大小，故C错误；当z＝i时，z2＝i2＝－1＜0，故D错误．故选AB.
6．(多选)下列命题为真命题的是( )
A．复数集是实数集与纯虚数集的并集
B．x＝i是方程x2＋2＝0的解
C．已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0
D．i是－1的一个平方根
【答案】 BCD
【解析】 复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝i时，x2＋2＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题．故选BCD.
7．已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则z＝________.
【答案】 －1－3i
【解析】 由已知可得z＝－1－3i.
8．已知(x＋y)＋3i＝(1－x)－yi(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
【答案】 2 －3
【解析】 由已知得
解得
9．若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝________.
【答案】 kπ＋(k∈Z)
【解析】 由题意知sin 2α＝0,1－cos 2α≠0，∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，∴α＝kπ＋(k∈Z)．
10．当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－8)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
【解析】 由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2.
(1)当m2－2m－8＝0时，复数z为实数，∴m＝4或m＝－2.
(2)当m2－2m－8≠0时，复数z为虚数，∴m≠4且m≠－2.
(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－3.
(4)当时，复数z＝0，∴m＝－2.
B组·综合运用
11．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【答案】 B
【解析】 由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1，因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
12．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
【答案】 C
【解析】 复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.
13．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝________.
【答案】 3－i
【解析】 由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i.
14．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
【解析】 ∵M∪P＝P，∴M P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得解得m＝2.
综上可知m＝1或2.
C组·拓展提升
15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
【解析】 (1)∵z1为纯虚数，
∴解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6]．
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第七章 复数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
新课程标准解读 学科核心素养
通过方程的解，了解引进复数的必要性. 数学抽象
理解复数的基本概念及复数相等的充要条件. 逻辑推理
教材梳理 明要点
数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解．
?情境导入
问题
我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
[提示]
[提示]
为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1.
知识点一 复数的有关概念
1．复数
(1)定义：形如_______(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做________
____，满足i2＝_______.复数a＋bi的实部是_____，虚部是_____；
(2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．
2．复数集
(1)定义：__________构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集；
(2)表示：用符号_____表示．
?新知初探
a＋bi
虚数单
位
－1
a
b
全体复数
C
想一想
1．复数m＋ni(m，n∈R)的实部是m，虚部是ni，对吗？
提示：不对．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以是实数吗？满足什么条件？
提示：b＝0时，复数为实数．
知识点二 复数的分类
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：
b＝0
a＝0
知识点三 复数相等
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di ____________.
[提醒]
[提醒]
在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
a＝c且b＝d
1．已知复数z满足z＝2－i，则复数z的虚部是( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】 B
【解析】 由题意，复数z满足z＝2－i，根据复数的概念，可得复数z的虚部为－1.故选B.
?预习自测
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】 C
3．若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x－y＝________.
题型探究 提技能
题型一
复数的概念
[方法总结1]
[方法总结1]
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b；
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；
(3)如果两个复数都是实数可以比较大小，否则是不能比较大小的．
１
【答案】 C
题型二
复数的分类
[母体探究]
变式1：(变设问)本例中条件不变，当m为何值时，复数z为实数？
变式2：(变设问)本例中条件不变，当m为何值时，z＞0.
[方法总结2]
[方法总结2]
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部；
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可；
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)：①z为实数 b＝0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
2
(1)若复数z＝(x2－100)＋(x－10)i为纯虚数，则实数x＝( )
A．－10 B．10
C．100 D．－10或10
(2)若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m＝________.
【答案】 (1)A (2)3
【解析】 (1)∵z为纯虚数，∴x2－100＝0同时x－10≠0，∴x＝－10，故选A．
(2)因为复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，由m2－9＝0，解得m＝3或m＝－3，当m＝3时，m＋2＝5∈R＋，符合题意；当m＝－3时，m＋2＝－1，不符合题意，所以实数m的值为3.
3.(1)已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，求实数m的值；
(2)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值．
题型三
两个复数相等
[方法总结3]
[方法总结3]
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
3
(1)设a，b为实数，若复数a＋1＋bi＝1＋i，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝3，b＝1
C．a＝0，b＝1 D．a＝1，b＝3
(2)若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy＝________.
【答案】 (1)C (2)1
随堂检测 重反馈
1．设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为( )
A．－1 B．1
C．5 D．7
【答案】 A
【解析】 由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1.故选A．
2．已知a∈R，若复数z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，则a＝( )
A．0 B．2
C．－1 D．－2
【答案】 D
3．下列命题中，真命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】 A
【解析】 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题；②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．故选A．
4．设a∈R,1＋a2i＝a＋i(i为虚数单位)，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．1或－1
【答案】 C
【解析】 因为a∈R,1＋a2i＝a＋i，所以有1＝a，a2＝1，即a＝1，故选C．
5．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.
【答案】 2＋i
