(共37张PPT)
第七章 复数
7.2 复数的四则运算
7.2.2 复数的乘、除运算
新课程标准解读 学科核心素养
掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 数学抽象
理解复数乘法的运算律. 数学运算
教材梳理 明要点
我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有(a＋b)c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中m，n均为正整数．
问题
复数的运算满足上述的运算律吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
复数的乘法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
知识点一 复数的乘法
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________.
?新知初探
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝_____
结合律 (z1z2)z3＝________
分配律 z1(z2＋z3)＝_________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
想一想
1．复数的乘法与多项式乘法有何不同？
提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
2．多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？
提示：仍然成立，乘法公式也适用．
知识点二 复数的除法
复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝__________________(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
[提醒]
[提醒]
对复数除法的两点说明：
(1)实数化，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似；
(2)代数式，注意最后结果要将实部、虚部分开．
1．已知i为虚数单位，复数z＝(3－i)(2＋i)，则z的虚部为( )
A．i B．1
C．7i D．7
【答案】 B
【解析】 ∵z＝(3－i)(2＋i)＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B.
?预习自测
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 C
3．设复数z满足(1＋i)z＝2－2i(i为虚数单位)，则|z|＝________.
【答案】 2
题型探究 提技能
1.计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)．
【解析】 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)
＝(3＋11i)(3－4i)
＝(9－12i＋33i－44i2)
＝53＋21i.
题型一
复数代数形式的乘法运算
[方法总结1]
[方法总结1]
复数的乘法运算法则的应用
(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等．
１
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)若复数z1，z2满足z1＝1－2i，z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z1·z2的虚部为________.
【答案】 (1)C (2)－2
【答案】 (1)C (2)D
题型二
复数代数形式的除法运算
[方法总结2]
[方法总结2]
1．两个复数代数形式的除法运算的步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)1/i＝－i；(2)(1＋i)/(1－i)＝i；(3)(1－i)/(1＋i)＝－i.
2
【答案】 (1)A (2)－3
【答案】 (1)D (2)1
【解析】 (1)因为i2＝－1，i4＝1，所以z＝i2 023＝i4×505＋3＝i3＝－i，所以复数z的模是1.故选D.
(2)由复数的运算法则可知：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i97＋i98＋i99＋i100)＝1＋0＋…＋0＝1.
题型三
i幂值的周期性及应用
[方法总结3]
[方法总结3]
利用i幂值的周期性解题的技巧
(1)熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
(2)对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
3
4.在复数范围内解下列方程：
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
题型四
在复数范围内解方程
[方法总结4]
[方法总结4]
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法：
4
(1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为( )
A．2i＋3 B．－2i－3
C．2i－3 D．－2i＋3
(2)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值．
【答案】 (1)B (2)见解析
【解析】 (1)根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B.
随堂检测 重反馈
1．已知m∈R，i为虚数单位，若(m＋i)(2－3i)＝5－i，则m＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】 A
2．复数z满足：z(2＋i)＝5(i是虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A．－2 B．2
C．－i D．－1
【答案】 D
3．已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4(其中i为虚数单位)，则|z|＝( )
【答案】 B第七章 7.2 7.2.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．复数z＝i(2－i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 A
【解析】 z＝i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，∴复数对应的点的坐标为(1,2)，位于第一象限．
2．已知复数z＝＋5i，则|z|＝( )
A． B．5
C．3 D．2
【答案】 B
【解析】 z＝＋5i＝＋5i＝－1＋7i，故|z|＝5，故选B.
3．(1＋i)20－(1－i)20＝( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
【答案】 C
【解析】 ∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4，又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，∴(1＋i)20－(1－i)20＝(－4)5－(－4)5＝0.
4．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z＝4，则a＝( )
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
【答案】 A
【解析】 z＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，解得a＝1或a＝－1，故选A．
5．(多选)设复数z满足＝－i，则下列说法正确的是( )
A．z为纯虚数
B．在复平面内，对应的点位于第三象限
C．z的虚部为2i
D．|z|＝
【答案】 BD
【解析】 由＝－i，得z＝＝＝－1＋2i，故z的虚部为2，|z|＝＝，＝－1－2i，则对应的点位于第三象限．
6．(多选)已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说法正确的是( )
A．z2＝－＋i B．|z1|＝
C．|z1＋z2|≥2 D．1·2＝－i
【答案】 ABD
【解析】 由题意知，设z2＝a＋bi(a，b为实数)，则z1z2＝(1－i)(a＋bi)＝i，即a＋b＋(b－a)i＝i，所以解得a＝－，b＝，所以z2＝－＋i，故A正确；|z1|＝＝，|z2|＝＝，所以|z1|＝，故B正确；z1＋z2＝1－i－＋i＝－i，所以|z1＋z2|＝＝＜2，故C错误；1＝1＋i，2＝－－i，所以1·2＝(1＋i)＝－i，故D正确．故选ABD.
7．在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根x＝________.
【答案】 －3±i
【解析】 x＝＝－3±i.
8．复数z＝－，则1＋z＋z2＝________.
【答案】 0
【解析】 ∵z＝－＝＝－＝－＋i.∴1＋z＋z2＝1－＋i＋2＝1－＋i＋＝0.
9．不是共轭复数的两个虚数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1，z2分别可以是_____________.
【答案】 ＋i，＋i(答案不唯一)
【解析】 ∵不是共轭复数的两个虚数z1，z2满足|z1|＝|z2|，不妨取|z1|＝|z2|＝1，则z1，z2分别可以是z1＝＋i，z2＝＋i.
10．已知z1＝1－i，z2＝2＋2i.
(1)求z1z2；
(2)若＝＋，求z.
【解析】 (1)因为z1＝1－i，z2＝2＋2i，
所以z1z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.
(2)由＝＋，得z＝，
所以z＝＝＝＝－i.
B组·综合运用
11．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则|z·＋z2 023|＝( )
A．1 B．
C． D．2
【答案】 B
【解析】 依题意，得z＝＝i，所以＝－i，所以z·＝i·(－i)＝1，z2 023＝i2 023＝－i，所以|z·＋z2 023|＝|1－i|＝.
12．(多选)2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程x3＝1，它的两个虚数根分别为( )
A． B．
C． D．
【答案】 CD
【解析】 对于方程x3＝1，移项因式分解可得：(x－1)(x2＋x＋1)＝0，x＝1为实数根，要求虚数根，解方程x2＋x＋1＝0即可，解得x＝.故选CD.
13．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为________.
【答案】 6
【解析】 令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，得当b＝0时，a2－4|a|＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4|b|－3＝0，|b|＝－2＋或|b|＝－2－(舍)．综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±(－2)i.
14．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根．
(1)求p＋q的值；
(2)复数w满足zw是实数，且|w|＝2，求复数w的值．
【解析】 (1)关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1.
(2)设w＝a＋bi(a，b∈R)．
由(a＋bi)(2＋i)＝(2a－b)＋(a＋2b)i∈R，得a＋2b＝0.又|w|＝2，则a2＋b2＝20，
解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，因此w＝4－2i或w＝－4＋2i.
C组·拓展提升
15．(多选)下面四个命题中真命题为( )
A．若复数z满足z2∈R，则z∈R
B．若复数z满足z∈R，则z2∈R
C．若复数z1，z2满足z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0
D．若复数z满足|z|2＝z2，则z∈R
【答案】 BCD
【解析】 当z＝i，则z2＝－1∈R，而z＝i R，故A错误；当z∈R时，z2∈R，故B正确；复数z1，z2满足z1·z2＝0，不妨设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1·z2＝ac－bd＋(ad＋bc)i＝0，则两式平方后相加得：a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝(a2＋b2)·(c2＋d2)＝0，故a2＋b2＝0或c2＋d2＝0，即z1＝0或z2＝0，C正确；设z＝m＋ni(m，n∈R)，则|z|2＝m2＋n2，z2＝m2－n2＋2mni，则m2＋n2＝m2－n2＋2mni，整理得n2＝mni，故n＝0，m∈R，所以z∈R，D正确．故选BCD.
16．在①z22＝10(a＞0)；②复平面上表示的点在一次函数x＋2y＝0的图象上；③z1(a－i)＞0.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋3i，i为虚数单位，满足________.
(1)若z＝＋，求复数z以及|z|；
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，求实数m的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】 选条件①，因为z2＝a＋3i，所以z22＝a2＋9＝10，
解得a2＝1，又a＞0，所以a＝1.
选条件②，因为z1＝1＋i，z2＝a＋3i，
所以＝＝＋i，其在复平面内对应的点的坐标为，
根据题中条件，有＋2×＝0，
解得a＝1.
选条件③，因为z1＝1＋i，所以z1(a－i)＝(1＋i)·(a－i)＝(a＋1)＋(a－1)i＞0，
所以解得a＝1.
(1)z＝＋＝＋＝－i，
|z|＝＝1.
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，则2也是该方程的根，所以m＝－(z2＋2)＝－(1＋3i＋1－3i)＝－2.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
