第六章 6.4 6.4.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则( )
A．s＞|a|
B．s＜|a|
C．s＝|a|
D．s与|a|不能比大小
【答案】 A
【解析】 s＝200＋300＝500(km)，|a|＝＝100(km)，∴s＞|a|.故选A．
2．(2023·高一下浙江温州阶段练习)在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若3＋＝3＋，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．梯形
C．平行四边形 D．菱形
【答案】 B
【解析】 由3＋＝3＋，得3(－)＝－，所以3＝，可得AD∥BC且AD≠BC．所以四边形ABCD一定是梯形．故选B.
3．在平面四边形ABCD中，＝(－2,3)，＝(6,4)，则该四边形的面积为( )
A．2 B．4
C．13 D．26
【答案】 C
【解析】 ∵·＝－12＋12＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积为||·||＝××＝13.故选C．
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||＝( )
A． B．2
C．3 D．2
【答案】 B
【解析】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设||＝a(a＞0)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)，所以＝(2，－a)，＝(4，a)．因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.所以a＝2，所以＝(2，－2)，所以||＝＝2.
5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形面积的2倍
D．以b，c为两边的三角形面积
【答案】 AC
【解析】 设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c|·|cos α|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sin θ.故选AC．
6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
【答案】 B
【解析】 ∵＝＝－，∴－＝(－)，∴＝，故选B.
7．已知G为△ABC的重心，且＝λ(＋)，则λ＝________.
【答案】
【解析】 如图所示，取BC中点M，连接AM，则三角形中由向量公式得＋＝2，又因为G为△ABC的重心，故＝，因此＝(＋)，故λ＝.
8．有一东西方向的河流(假设河流宽度一样)，一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为2 m/s，方向为北偏西30°，河水的速度为向东1 m/s，经过20 s到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是_____________.
【答案】 10 s
【解析】 如图所示，由题意知，||＝2 m/s，||＝1 m/s，所以||＝＝(m/s)，所以南北两岸的距离为×20＝20(m)；现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，所以时间为20÷2＝10(s)，即从北岸出发返回南岸的时间是10 s.
9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC．
【证明】 设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，
由条件知，a2－b2＝c2－d2，
所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，即·＝0，
所以AD⊥BC．
B组·综合运用
10．(多选)在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，P0B＝AB，且对于AB上任一点P，恒有·≥·，则下列结论中正确的是( )
A．·＝2－2
B．存在点P，使||＜||
C．·＝0
D．AC＝BC
【答案】 AD
【解析】 ∵·＝(＋)·(＋)＝2－2，故A正确；由A知，·＝2－2，又∵·≥·恒成立，∴2≥2，即||≥||恒成立，故B错误；由||≥||恒成立，∴||是点D与直线AB上各点距离的最小值，∴⊥，∴·＝0，故C错误；取AB的中点为O，∵P0B＝AB，∴P0为OB中点，∴CO∥P0D，∴CO⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，∴AC＝BC，故D正确．故选AD.
11．点O是三角形ABC内一点，若＋＝－，则S△AOB∶S△AOC＝________.
【答案】 1∶1
【解析】 设G为BC的中点，由题意知O为△ABC的重心，则AO∶OG＝2∶1，所以S△AOB∶S△ABG＝AO∶AG＝2∶3，同理S△AGC∶S△AOC＝3∶2.而S△ABG＝S△ACG，故S△AOB∶S△AOC＝1∶1.
12．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________.
【答案】 －
【解析】 ＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－.
13．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.
(1)若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求·；
(2)若AC＝AB，cos∠CAB＝，·＝，求||.
【解析】 (1)因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB＝120°.
又AD＝2AB，所以AD＝2BC，所以＝2.
因为E是CD的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＋，
又＝－，所以·＝·(－)＝2－2－·＝×16－×4－×4×2×＝11.
(2)因为AC＝AB，AB＝2，所以AC＝2.
因为·＝，所以·(－)＝·－·＝，
又·＝||||cos∠CAB＝2×2×＝，
所以·＝＋·＝，
所以||2＝|－|2＝4＋16－2×＝，
故||＝.
C组·拓展提升
14．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝4，点D在BC上，且BD＝2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于O点．
(1)求线段BE，AD的长；
(2)求∠EOD的余弦值．
【解析】 (1)由题意，AB＝2，AE＝＝2，∠BAC＝120°，
又＝－＝－，
∴||2＝2＝2＝2－·＋2＝||2－||·||·cos∠BAC＋||2＝12，
∴||＝2，即BE＝2，
∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴||2＝2＝2＝2＋2×××·＋2＝||2＋2×××||·||cos∠BAC＋||2＝，
∴||＝，即AD＝.
(2)∵＝－＝－，＝＋，
∴·＝·＝2－·－2＝×42－×(－4)－×22＝6，
∵与的夹角即为∠EOD，
∴cos∠EOD＝＝＝.
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第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
新课程标准解读 学科核心素养
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 数学建模
体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 数学运算、逻辑推理
教材梳理 明要点
在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力．在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力．
问题
你能从数学的角度解释上述现象吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂间的距离越大，夹角越大越费力．
2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等；
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中；
(3)动量mv是向量的数乘运算；
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
想一想
用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
【答案】 C
?新知初探
2．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|＞|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
【答案】 C
【解析】 题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数．故逆风行驶的速度的大小为|v1|－|v2|.
3．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长为________.
题型探究 提技能
方向一 利用向量证明平行或共线问题
题型一
平面向量在平面几何中的应用
[方法总结1]
[方法总结1]
证明A，B，C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线；
(2)说明两向量有公共点；
(3)下结论，即A，B，C三点共线．
方向二 利用向量证明线段垂直
2. (1)已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N为AB中点，设AM与CN相交于点P.
(2)如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD(异于B，D)上的一点，四边形PECF是矩形，用向量证明：PA⊥EF.
[方法总结2]
[方法总结2]
向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法
方向三 利用向量解决长度问题
[方法总结3]
[方法总结3]
利用向量法解决长度问题的策略
１
如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
方向四 利用向量解决夹角问题
4. (1)设两个向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2.
若(2a－b)·(a＋b)＝－3，求a，b的夹角θ.
(2)已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°.
(2)如图，建立平面直角坐标系，则E(1,0)，D(2,3)，
设P(0，b)(0≤b≤3)，
[方法总结4]
[方法总结4]
平面几何中夹角问题的求解策略
利用平面向量解决几何中的夹角问题时，本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角，借助夹角公式进行求解，这类问题也有两种方法，一是利用基底法，二是利用坐标运算．在求解过程中，务必注意向量的方向．
2
如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且DC＝2BD.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
方向五 利用向量求几何的最值问题
5.已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，求|a＋b＋c|的最大值．
方向 力、速度和位移的合成
6.某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为|v1|＝8 km/h，水流的速度的大小为|v2|＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，cos θ＝( )
题型二
平面向量在物理中的应用
【答案】 D
【解析】 设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无风时飞机的飞行速度为vb，则va＝vb＋v0，且va，vb，v0可构成三角形(如图所示)，
8.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m．其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
[方法总结5]
[方法总结5]
平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则转化为代数方程来计算．
3
两人提起一个旅行包，旅行包所受的重力为G，两人用力大小都为|F|，夹角为θ，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
【答案】 D
随堂检测 重反馈
1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
【答案】 B
A．角C为钝角的三角形
B．角B为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D．角A为直角的直角三角形
【答案】 D
【答案】 D
4．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝( )
【答案】 B
【答案】 1
