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第七章 复数
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
新课程标准解读 学科核心素养
通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数代数形式的加、减运算法则. 数学抽象
结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义. 数学运算
教材梳理 明要点
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律．
问题
那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
实数中的加法满足交换律与结合律，复数中的加法也满足交换律与结合律．
知识点一 复数的加、减法运算
1．运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝_________________；
(2)z1－z2＝_________________.
2．加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝_______；
(2)(z1＋z2)＋z3＝___________.
?新知初探
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
[提醒]
[提醒]
1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
1．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
【答案】 D
【解析】 ∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.
?预习自测
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
【答案】 C
3．(2＋i)－(6－2i)＋(5＋6i)＝________.
【答案】 1＋9i
【解析】 (2＋i)－(6－2i)＋(5＋6i)＝(2－6＋5)＋(1＋2＋6)i＝1＋9i.
题型探究 提技能
题型一
复数的加、减运算
[方法总结1]
[方法总结1]
复数加、减法运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
１
(1)若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b＝( )
A．5 B．1
C．0 D．－3
【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)因为(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B.
2.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：
题型二
复数加、减法几何意义的应用
[方法总结2]
[方法总结2]
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应；
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变．
2
【答案】 (1)B (2)1－i
【解析】 (1)设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0,1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2，故选B.
题型三
复数模的最值问题
[方法总结3]
[方法总结3]
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
3
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，求|z＋1|的取值范围．
【解析】 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1,0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.∴|z＋1|的取值范围是[0,3]．
随堂检测 重反馈
1．复数(－3＋i)－(5－i)＋(2＋5i)的模为( )
A．－6＋7i B．6＋7i
【答案】 C
A．2－i B．2＋i
C．3＋i D．3－i
【答案】 A
3．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
【答案】 －1
4．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是________.
【答案】 5－2i
5．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________.
【答案】 9π
【解析】 由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.第七章 7.2 7.2.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
【答案】 B
【解析】 z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虚部是4.
2．设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则|z|＝( )
A．6 B．6
C．5 D．5
【答案】 D
【解析】 因为z＋1－2i＝－3＋i，所以z＝－4＋3i，所以|z|＝＝5.故选D.
3．若z为纯虚数，且|z－1－i|＝，则z＝( )
A．－i B．i
C．－2i D．2i
【答案】 D
【解析】 因为z为纯虚数，所以设z＝bi(b∈R且b≠0)，又因为|z－1－i|＝，则|bi－1－i|＝，即|－1＋(b－1)i|＝，所以(－1)2＋(b－1)2＝2，解得b＝2或b＝0(舍)，故z＝2i，故选D.
4．已知i为虚数单位，在复平面内，复数z1对应的点的坐标为(2，－3)，复数z2＝－1＋2i，若复数z＝z1＋z2，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 D
【解析】 因为复数z1对应的点的坐标为(2，－3)，所以z1＝2－3i.又因为复数z＝z1＋z2，z2＝－1＋2i，所以z＝2－3i＋(－1＋2i)＝1－i.所以复数z对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．故选D.
5．(多选)在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是( )
A．点C位于第二象限
B．z1＋z3＝z2
C．|z1－z3|＝||
D．|z2＋z3|＝
【答案】 BC
【解析】 如图，由题意，O(0,0)，A(1,1)，B(1,2)，＝(0,1)，∵OABC为平行四边形，∴＝(0,1)，则C(0,1)，∴z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝(1＋i)＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；|z1－z3|＝|1＋i－i|＝1＝||，故C正确；|z2＋z3|＝|(1＋2i)＋i|＝|1＋3i|＝，故D错误．故选BC．
6．(多选)设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题一定正确的是( )
A．z＋∈R
B．z－是纯虚数
C．若z＝cos ＋isin ，则|z|＝1
D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2
【答案】 AD
【解析】 因为复数z与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋∈R，A正确；当z为实数时，也为实数，则z－是实数，B错误；若z＝cos ＋isin ，则|z|＝≠1，C错误；若|z－i|＝1，设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知，在复平面内动点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，半径为1的圆，而|z|则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确．故选AD.
7．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________.
【答案】 ±2－2i
【解析】 因为z＋2i是实数，所以可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2，所以z＝±2－2i.
8．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A、B对应的复数分别为z1、z2，则z1＋z2＝________.
【答案】 2
【解析】 由题意可知z1＝i，z2＝2－i，∴z1＋z2＝i＋(2－i)＝2.
9．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝_____________.
【答案】 1＋i(答案不唯一)
【解析】 z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i.由|z－2i|＝|z|知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i.
10．计算：
(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
【解析】 (1)原式＝－i＝－i.
(2)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i.
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.
B组·综合运用
11．如果|z|＋z＝5＋i，那么z－＝( )
A． B．2i
C．＋2i D．－2i
【答案】 B
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝.由题意知a＋bi＋＝5＋i，即a＋＋bi＝5＋i，∴解得∴z＝＋i，＝－i，∴z－＝2i.
12．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】 A
【解析】 由复数的模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心．
13．如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则|z1＋z2|＝________.
【答案】
【解析】 由题意可设z2＝a＋bi(a＜0，b＞0)，则解得∴z2＝－1＋2i，∴z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋2i)＝1＋3i，∴|z1＋z2|＝.
14．已知复数z1＝1＋(10－a2)i，z2＝(2a－5)i(a＞0)，1＋z2∈R.
(1)求实数a的值；
(2)若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范围．
【解析】 (1)由题意得1＝1－(10－a2)i，
所以1＋z2＝1－(10－a2)i＋(2a－5)i＝1＋(a2＋2a－15)i，
因为1＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，因为a＞0，所以a＝3.
(2)由(1)知z2＝i，所以满足条件|z－z2|＝2的点的集合是以(0,1)为圆心，2为半径的圆，设为圆A，所以|z|的取值范围即圆A上的点到坐标原点的距离的范围，所以2－1≤|z|≤2＋1，即1≤|z|≤3.
故|z|的取值范围为[1,3]．
C组·拓展提升
15．已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
【解析】 (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，∴向量对应的复数为3－i.
即＝(3，－1)．设D(x，y)，
则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝＝.
∵0＜B＜π，∴sin B＝.
∴S平行四边形ABCD＝||||sin B＝××＝7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.
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