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第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例
新课程标准解读 学科核心素养
理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义. 数学抽象
能将实际问题转化为解三角形问题. 直观想象
能够用正、余弦定理求解与距离有关的实际应用问题. 直观想象、逻辑推理
教材梳理 明要点
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．
问题
假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由．
?情境导入
[提示]
[提示]
可以将实际问题转化为数学问题，进而利用正、余弦定理解决．
知识点 实际应用问题中的有关名词、术语
1．基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而_____________叫做基线；
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
?新知初探
确定的线段
2．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．如图，北偏东30°，南偏东45°.
3．仰角和俯角
(1)前提：在视线所在的垂直平面内；
(2)仰角：视线在水平线_______时，视线与水平线所成的角；
(3)俯角：视线在水平线_______时，视线与水平线所成的角．
以上
以下
想一想
李尧从学校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
提示：东南方向．
1．判断
(1)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．( )
(2)方位角的范围是0°～180°.( )
(3)“视角”就是“仰角”．( )
(4)测量的精确度与基线的选择及长度有关．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
【解析】 (1)仰角与俯角都是目标视线与水平视线所成的角．
(2)方位角的范围是0°～360°.
(3)视角是指观察物体的两端视线张开的角度，与仰角不同．
?预习自测
2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上
B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南44°50′'方向上
【答案】 C
【解析】 如图所示．
【答案】 20
题型探究 提技能
1.(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.
题型一
测量距离问题
(2)如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________m.
[方法总结1]
[方法总结1]
１
【答案】 B
2.彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下．某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝( )
题型二
测量高度问题
[方法总结2]
[方法总结2]
2
珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为(sin 70°≈0.94)( )
A．10米
B．9.72米
C．9.40米
D．8.62米
【答案】 C
【解析】 根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin 70°≈9.4(米)．
【解析】 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20，AC＝20.
题型三
测量角度问题
[方法总结3]
[方法总结3]
测量角度问题画示意图的基本步骤
3
随堂检测 重反馈
1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°方向上
B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上
D．南偏西80°方向上
【答案】 D
【解析】 由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为( )
【答案】 A
A．49米
B．51米
C．54米
D．57米
【答案】 D
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________(填度数)．
【答案】 45°第六章 6.4 6.4.3 第4课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．若水平面上的点B在点A南偏东30°方向上，则在点A处测得点B的方位角(指从某点的正北方向起顺时针旋转到达目标方向的水平夹角)是( )
A．60° B．120°
C．150° D．210°
【答案】 C
【解析】 如图所示，在点A处测得点B的方位角是180°－30°＝150°.故选C．
2．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )
A．5 海里/时 B．5 海里/时
C．10 海里/时 D．10 海里/时
【答案】 D
【解析】 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D.
3．某人从出发点A向正东走x m后到达B，然后向左转150°再向前走3 m到达C，测得△ABC的面积为 m2，此人这时离出发点的距离为( )
A．3 m B． m
C． m D． m
【答案】 D
【解析】 如图所示，由题意得∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝3，∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝x＝，∴x＝.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12－6cos 30°＝3，∴AC＝，即此人这时离出发点的距离为 m．故选D.
4.为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站间的距离为( )
A．10 km B．30(－1)km
C．30(－1)km D．10 km
【答案】 D
【解析】 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，所以∠CAD＝30°，则有∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝10.又∠ACB＝75°，所以∠BCD＝45°，在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理，得BC＝＝5＋5.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝(10)2＋(5＋5)2－2×10×(5＋5)×＝500，所以AB＝10，即A，B两个基站之间的距离为10 km.故选D.
5．(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是( )
A．A处与D处之间的距离是24 n mile
B．灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C．灯塔C在D处的西偏南60°
D．D在灯塔B的北偏西30°
【答案】 AC
【解析】 由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24(n mile)，故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝，即CD＝＝8(n mile)，故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误．故选AC．
6．(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的方案为( )
A．测量A，B，b B．测量a，b，C
C．测量A，B，a D．测量A，B，C
【答案】 ABC
【解析】 对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于D，不知道长度，显然不能求c.
7.如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为_________km.
【答案】 3
【解析】 连接AB，由题意AC＝BC＝，∠ACB＝120°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝3＋3－2×3×，即AB2＝9，即AB＝3 km.
8.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山顶的俯角为45°，经过2 min后，又在B处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔约为________km.(结果精确到0.1，参考数据：≈1.732)
【答案】 5.3
【解析】 如图，过C点作直线AB的垂线，垂足为D.由题意得AB＝300×＝10 km，∠ACB＝30°，因为＝，所以BC＝AB·＝10 km，又因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝，所以CD＝BC·sin∠CBD＝10×＝5(＋1)≈13.66 km.故山顶的海拔约为19－13.66≈5.3 km.
9．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.
【答案】 1
【解析】 设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302.化简，得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.从而|t1－t2|＝＝1(h)．
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长．
【解析】 在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由＝，
得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
B组·综合运用
11．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝( )
A．a m B． m
C．a m D．a m
【答案】 A
【解析】 由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a(m)，故选A．
12．(多选)如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos∠AOB＝－，则( )
A．此山的高PO＝ km
B．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°
C．PA＝2 km
D．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为
【答案】 BCD
【解析】 由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝x km，OB＝x km.因为AB＝7.5××20＝(km)，所以cos∠AOB＝＝＝－，解得x＝1，从而PA＝2 km.易知sin∠AOB＝，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝ km，则最大仰角的正切值为＝.又AO＞BO，所以最小仰角为30°.故选BCD.
13.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D两点，已知∠ADC＝90°，A＝60°，AB＝2，BD＝2，CD＝4，则BC的长为________.
【答案】 4
【解析】 在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB＝＝＝，∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝，在△BDC中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝24＋48－4×4×＝48，∴BC＝4(负值舍去)．
14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，要测量如图所示的海洋蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°.求A，B两点间的距离．
【解析】 因为∠ADB＝135°，
∠BDC＝∠DCA＝15°，
所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，
所以AD＝CD＝80，又因为∠ACB＝120°，
所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°，
在△BCD中，由正弦定理得：＝，即＝，解得BD＝80，
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
所以AB2＝802＋(80)2－2×80×80×，
解得AB＝80.
所以A，B两点间的距离为80.
C组·拓展提升
15．在以灯塔E为中心的6海里以内有暗礁，点E的正北方向20海里处有一个雷达观测站A．观测站某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距20海里的位置B，经过50分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中cos θ＝，0°＜θ＜90°)且与点A相距5海里的位置C．
(1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；
(2)若该船不改变行驶方向继续行驶，试判断它有没有触礁的危险，并说明理由．
【解析】 (1)由已知得AB＝20海里，AC＝5海里，
∠BAC＝θ，cos θ＝，
由余弦定理得BC＝
＝5海里．
所以船的行驶速度为＝6(海里/时)．
(2)如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理的推论得cos B＝＝.
从而sin B＝＝＝，
所以sin∠AQB＝sin(45°－B)＝(cos B－sin B)＝，
在△ABQ中，由正弦定理得AQ＝＝＝10.
由于AE＝20＞10＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝10.
过点E作EP⊥BC，交BC的延长线于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQB＝10×＝＜6，
所以该船有触礁的危险．
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