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第七章 复数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
新课程标准解读 学科核心素养
通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系. 直观想象
通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系. 直观想象
通过向量的模表示复数的模. 数学运算
教材梳理 明要点
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型．
问题
1．你能否为复数找一个几何模型？
2．怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？
?情境导入
[提示]
[提示]
复数a＋bi(a，b∈R)实质上是实数的有序数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应．
知识点一 复数与复平面内点的关系
1．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，_____叫做实轴，_____叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
?新知初探
[提醒1]
x轴
y轴
[提醒1]
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点是(a，b)，而不是(a，bi)．
相等
模
模
|z|或|a＋bi|
知识点四 共轭复数
1．定义：当两个复数的实部_____，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_________.
[提醒2]
[提醒2]
1．互为共轭的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称；
相等
互为相反数
共轭虚数
a－bi
1．复数－1＋i在复平面内对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】 B
【解析】 复数－1＋i在复平面内对应的点为(－1,1)，故在第二象限．故选B.
?预习自测
A．1＋2i B．－1＋2i
C．2－i D．2＋i
【答案】 B
题型探究 提技能
【解析】 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i在复平面内对应的点为(m2－2m－8，m2＋3m－10)．
(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或4.
(2)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)＜0.∴2＜m＜4或－5＜m＜－2.
题型一
复数与复平面内点的关系
[母体探究]
变式1：(变设问)本例条件不变，若复数在第二象限，求m的取值范围．
变式2：(变设问)本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值．
[方法总结1][提醒]
[方法总结1]
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，这是解决此类问题的根据；
(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
[提醒]
复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．
１
(1)已知复数z＝1－2i，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(－2,1) D．(－1，－2)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 (1)D (2)B
【解析】 (1)z在复平面内对应的点为(1，－2)，关于虚轴对称的点是(－1，－2)．故选D.
2.在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
题型二
复数与复平面内向量的关系
[方法总结2]
[方法总结2]
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
2
【答案】 (1)1＋2i (2)2i
【解析】 (1)由复数的几何意义可得A(1,1)，B(1,3)，所以线段AB的中点为M(1,2)，故线段AB的中点所对应的复数为1＋2i.
题型三
复数的模与共轭复数
[方法总结3]
[方法总结3]
复数的模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
3
随堂检测 重反馈
1．在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 B
【解析】 依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为(－3,4)，位于第二象限．
2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－2,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
【答案】 B
【解析】 ∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故实数m的取值范围是(－2,1)．
【答案】 B
A．2＋i B．2－i
C．1＋i D．1－i
【答案】 A
【答案】 －1第七章 7.1 7.1.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知复数z＝a－bi(a，b∈R，b＜0)，满足|z|＝1，复数z的实部为，则复数z的虚部为( )
A． B．－
C． D．－
【答案】 A
【解析】 因为复数z的实部为，所以a＝.因为|z|＝1，所以|z|＝＝1，解得b＝－或b＝(舍去)，所以复数z的虚部为.故选A．
2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．2＋i
C．1－2i D．－1＋2i
【答案】 C
【解析】 由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(1，－2)，故向量对应的复数为1－2i.
3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为Z(a，b)，若|z|≤1，则满足条件的点Z的集合是( )
A．直线 B．线段
C．圆 D．单位圆及其内部
【答案】 D
【解析】 ∵|z|≤1，∴a2＋b2≤1，∴点Z的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部．
4．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
【答案】 A
【解析】 由题意得解得a＝－1.故z＝－1＋i.故选A．
5．(多选)在复平面内，复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝.点Z与Z1关于x轴对称．则点Z对应的复数z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．1－i D．1＋i
【答案】 CD
【解析】 由于复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝，所以||＝＝，所以a＝±1，Z1(1,1)或Z1(1，－1)，又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z(1，－1)或Z(1,1)，所以复数z为1－i或1＋i.故选CD.
6．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
【答案】 AC
【解析】 |z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC．
7．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1,2)，则＝________.
【答案】 －1－2i
【解析】 因为复数z对应的点的坐标是(－1,2)，所以z＝－1＋2i，因此＝－1－2i.
8．若复数z对应的点在y＝2x的图象上，且|z|＝，则复数z＝________.
【答案】 1＋2i或－1－2i
【解析】 依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
9．若复数z＝cos θ＋1＋isin θ，则|z|的最大值为________.
【答案】 2
【解析】 |z|＝＝，当cos θ＝1时，|z|max＝2.
10．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点满足下列条件：
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y＝x上．
【解析】 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得
解得－2＜a＜1.
故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故满足条件的实数a的值为1.
B组·综合运用
11．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的集合是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
【答案】 A
【解析】 由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3，∴复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆．
12．(多选)已知复数z＝cos α＋(sin α)i(α∈R，i为虚数单位)，则下列说法正确的有( )
A．当α＝－时，复平面内表示复数z的点位于第二象限
B．当α＝时，z为纯虚数
C．|z|的最大值为
D．z的共轭复数为＝－cos α＋(sin α)i
【答案】 BC
【解析】 当α＝－时，z＝cos＋i＝－i，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；当α＝时，z＝cos ＋i＝i，为纯虚数，故B正确；|z|＝＝，最大值为，故C正确；z的共轭复数为＝cos α－(sin α)i，故D错误．故选BC．
13．复数z对应的向量与a＝(3,4)共线，对应的点Z在第三象限，且|z|＝10，则＝________.
【答案】 －6＋8i
【解析】 设复数z＝x＋yi，x，y∈R，则＝(x，y)，∵复数z对应的向量与a＝(3,4)共线，∴4x－3y＝0①，由|z|＝10得x2＋y2＝100②，由①②可得x＝6，y＝8或x＝－6，y＝－8.∵z对应的点Z在第三象限，∴z＝－6－8i，∴＝－6＋8i.
14.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为－1，对应的复数为2＋2i，对应的复数为4－4i.
(1)求点D对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
【解析】 (1)由点A对应的复数为－1，对应的复数为2＋2i，
得A(－1,0)，＝(2,2)，可得B(1,2)．
又对应的复数为4－4i，得＝(4，－4)，可得C(5，－2)．
设点D对应的复数为x＋yi，x，y∈R.得＝(x－5，y＋2)，＝(－2，－2)．
∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝－4，
故点D对应的复数为3－4i.
(2)由＝(2,2)，＝(4，－4)，可得·＝0，
∴⊥，又∵||＝2，||＝4，
故平行四边形ABCD的面积为2×4＝16.
C组·拓展提升
15．若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为和(O为坐标原点)，则△OZ1Z2的面积为________.
【答案】
【解析】 由题意得＝(1,2)，＝(3，－1)，则||＝＝，||＝＝，∴cos∠Z1OZ2＝＝＝，∴sin∠Z1OZ2＝，∴△OZ1Z2的面积S＝||||sin∠Z1OZ2＝×××＝.
16．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值．
【解析】 (1)由题意得|z|＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2.
(2)由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2,2)．
因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.
又mn＞0，所以m＞0，n＞0.
所以＋＝＝＋＋≥＋.当且仅当＝，即n2＝2m2时等号成立．
又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－，n＝2－2.
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