湖南省永州市祁阳市浯溪二中2025年中考二轮数学专题训练——有关三角形的最值问题（二）(含详解)

湖南省祁阳市浯溪二中2025年中考二轮数学专题训练——有关三角形的最值问题（二）
1．如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AB＝4，BD＝5，若点P是BC边上的动点，则线段DP的最小值为（　　）
A．2.4 B．3 C．4 D．5
2．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．15
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．4.8
4．如图，在△ABC中，有一点P在BC边上移动，若AB＝AC＝13，BC＝24，则AP的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
第1题题图 第2题图 第3题图 第4题图
5．如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点，M，N分别为AB，AC边上的动点．已知AB＝10，BC＝12，若四边形AMPN为对等四边形，则MN的最小值为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
第5题题图 第6题图 第7题图
6．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D是CA延长线上任意一点，作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，等边△ABC的边长为3，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A'BC'关于直线l对称，D为线段BC'上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）
A．9 B．6 C．5 D．4
8．如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD，线段PQ在边BA上运动，PQ，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为3．其中，正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，△ABC内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，BC的长为（　　）
A． B．4 C． D．8
第8题题图 第9题图 第11题图 第12题图
10．在平面直角坐标系中，已知点A（1，4），点B（3，1），点P（0，a），则PA+PB的最小值为（　　）
A． B．5 C． D．6
11．问题：当a+b＝5时，求代数式的最小值．小明的解题思路是：如图，把看作两直角边分别为a和2的Rt△ACP斜边AP的长，看作两直角边分别是b和3的Rt△BDP斜边BP的长，将问题转化为求AP+BP的最小值．根据小明的解题思路求出该问题的最小值为（　　）
A． B．7 C． D．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为（　　）
A． B． C． D．2
13．如图，在四边形ABCD中，已知AC⊥BD，AC＝3，BD＝6，则AD+BC的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．
第13题题图 第14题图 第15题图 第16题图
14．如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝3，则OE的最小值为 　 　 ．
15．如图，在等腰△ABD中，AB＝AD＝4，∠B＝30°，点E以每秒1个单位从点A移到点B，点F以每秒1个单位从点D移到点A，则四边形BEFD面积的最小值为 　 　 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1．AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC上一点，连接DE，将DE沿DA方向平移到AF，连接BF，则BF的最小值为　 　 ．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝1cm，点P是AB上一动点．
（1）连结DP，求DP的最小值；
（2）若∠B＝30°，求△ADB的面积．
18．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为多少？
19．如图，△ABC和△ACD均为等边三角形，E是BC上的一个动点，F是CD上的一个动点，且∠EAF＝60°．
（1）请判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）当AB＝4时，求△AEF面积的最小值．
参考答案及解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
答案 B C D A B A B C A B D C D
1．B
解析：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，
∴AD3，
过点D作DE⊥BC于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时DP最短，
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴DE＝AD＝3，即线段DP的最小值为3．
2．C
解析：连接DC，如图，
∵AD，CD，AC是△ACD的三条边，
∴AD+DC≥AC，
∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9，
∴DC＝BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14，
3．D
解析：作AD⊥BC于点D，如图，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
∴AD，
∵当BP⊥AC时，BP最小，
∴S△ABC，
∴6×4＝5×BP，
解得BP＝4.8；
4．A
解析：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝13，
∴BHBC24＝12，
∴AH5，
∵AP≥AH，
∴AP的最小值是5．
5．B
解析：如图，连接AP，作AP′⊥BC于点P′，
∵四边形AMPN为对等四边形，
∴AP＝MN，
∴当AP最小时，MN也最小，
∵点P为BC边上一动点，
∴当AP′⊥BC时，AP′最小，
∵BC＝12，
∴BP′＝CP′＝6，
在Rt△ABP′中，
AP′8，
∴MN的最小值为8．
6．A
解析：过点E作EN⊥BC于点N，设DF交AB于点R，过点R作RH⊥EH于点H，
∵∠BAC＝120°，∠C＝30°，DF⊥BC，
∴∠BRF＝60°，∠RDE＝30°，∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
则∠ADE＝30°＝∠RDE，
设DA＝x，则AE＝REx，
则BE＝AB﹣AE＝4x，
在Rt△ERH中，∠ERH＝∠B＝30°，
则RH＝REcos30°x＝FN，
则FE2＝NE2+FN2＝（2）2+（x）2（x﹣2）2+3≥3，
故EF的最小值为，
7．B 解析：如图，连接A′D，
由对称性质可知∠ABC＝∠A′BC′＝60°，A′B＝AB＝BC＝3，
∴∠CBC′＝60°，∴∠CBC′＝∠A′BC′，
∵BD＝BD，∴△CBD≌△A′BD，
∴CD＝A′D，∴AD+CD＝A′D+AD，
∴当A、D、A′三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD＝A′B+AB＝6，
8．C解析：①在△AQD中，AQ+AD＞QD，∵，∴AQ+PQ＞QD，即AP＞QD，当Q点与A点重合时，∴AP≥QD．
在△BCP中，BP+PC＞BC，
∵BC＝AB，
∴BP+PC＞AB，
∴BP+PC＞AP+BP，
∴PC＞AP，当P点与B点重合时PC＝AP＝3，∴PC≥AP．
综上，当Q点与A点重合时，PC＞AP≥QD；
当P点与B点重合时，PC≥AP＞QD；
当P、Q不与A、B重合时，PC＞AP＞QD；
∴CP与QD不可能相等，故①错误．
②设AQ＝x，
∵，AB＝3，
∴，
∴0≤x≤2.5．假设△AQD与△BCP相似，
∵∠A＝∠B，∴，∴，整理得，2x2﹣5x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝1.5，∵0≤x≤2.5，∴x＝1或1.5都符合题意，
∴△AQD与△BCP可能相似，故②正确．
③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，过C点作CG⊥AB于G点．
设AQ＝x，则，∴0≤x≤2.5，∵∠B＝60°，
∴，∴，∵∠A＝60°，，∴，
∴，∵△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝60°，
∴，，
∴S四边形PCDQ＝S△ABC﹣S△PBC﹣S△ADQ
，∵S随x的增大而增大，∴当x取最大值2.5时，S的值最大，
∴，故③正确．
④如图，作D点关于直线AB的对称点D1，作D1D2∥AB，且，连接CD2交AB于P点，将P点沿射线PA平移得Q点，连接DQ、D1Q，AD1，
则，QD1＝QD，且四边形D1D2PQ是平行四边形，∴PD2＝QD1＝QD，
则四边形PCDQ的周长＝CD+PQ+QD+PC＝2.5+0.5+PD2+PC＝3+CD2，
此时四边形PCDQ的周长最小．连接AD2，∵∠D1AB＝∠DAB＝60°，且D1D2∥AB，
∴∠AD1D2＝180°﹣∠D1AB＝120°，∵，∴，且∠D2AC＝90°，∴，
在Rt△D2AC中，，
∴四边形PCDQ的周长的最小值为，故④正确．
9.A 解析：如图，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，BC′，过点C′作C′H⊥BA，
∴∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PC＝P′C′，
∴△APP′为等边三角形，
∴AP＝PP′，
∴PA+PB+PC＝PP′+PB+P′C′，
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC为定长．
当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．
∴BC′＝2，
由旋转性质可知∠PAC＝∠P′AC′，AC＝AC′，
由条件可知∠BAP+∠PAC＝90°，AB＝AC′，
∴∠BAP+∠P′AC′＝90°，
∴∠BAC′＝∠BAP+∠P′AC′+∠PAP′＝150°，
∴∠C′AH＝30°，设C′H＝x，则AB＝AC′＝2x，，
∴，在Rt△BHC′中，，∴，∴，
∴，
10．B
解析：如图，
作点A关于y轴的对称点A'（﹣1，4），连接A'B，交y轴于点P，
则PA+PB的最小值即线段A'B的长，过点B作BC⊥A'A，
交A'A的延长线于点C，Rt△A'BC中，∵点A'（﹣1，4），点B（3，1），
∴A'C＝4，BC＝3，由勾股定理得A'B5，
∴PA+PB的最小值为5．
11．D
解析：如图，连接AB，当点A、P、B三点共线时，AP+BP的值最小，
由题意可知，AB5，
即AP+BP的值最小值为5，
12．C解析：由条件可得，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，垂足为P′，连接BO，
∵垂线段最短，
∴当点P在点P′处时，PO最小，即PQ最小，
∵S△ABO＝S△BOC，即，
∵CO＝AO＝2，BC＝5，AB＝3，
∴，∴则PQ的最小值为2.4，∴，
∴，∴当PQ取得最小值时，BP的长为．
13．D 解析：如图，以AC、BC为邻边作平行四边形ACBE，连接DE，
则AC∥BE，BE＝AC＝3，AE＝BC，∴AD+BC＝AD+AE≥DE，
∴AD+BC的最小值为DE，∵AC⊥BD，∴BE⊥BD，
∴∠DBE＝90°，在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE3，
∴AD+BC的最小值为3，故选：D．
14．3．解析：过O点作OF⊥BA于F点，如图，
∵BO平分∠ABC且OD⊥BC，∴OF＝OD＝3，∵点E为射线BA上一动点，
∴OE的最小值为3．
15．3．
解析：过D作DM⊥BA交BA的延长线于M，过F作FN⊥AM于N，
设E、F运动的时间是t秒（0＜t＜4），
∴AE＝DF＝t，∴AF＝4﹣t，∵AB＝AD＝4，∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠DAM＝∠B+∠D＝60°，∵sin∠DAM＝sin60°，
∴DM＝2，∵sin∠FAN＝sin60°，
∴FN（4﹣t），∴△ABD的面积AB DM4×24，△AEF的面积AE FNt（4﹣t）（t﹣2）2，
∴四边形BEFD面积＝△ABD的面积﹣△AEF的面积（t﹣2）2+3，
∴四边形BEFD面积的最小值为3．
16．．
解析：根据题意，点E是在线段AC上移动的，则点F的轨迹是在过点F且平行于AC的线段MN上移动，
可作过点F的线段MN∥AC，且MN＝AC，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1．
∴AC＝2，BC，
作BF′⊥MN，垂足为F′，AT⊥MN，垂足为T，DQ⊥AC，垂足为Q，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DQ，
设BD＝x，则AD＝2x，ABx，
∴x，∴BD＝DQ，在△DQC和△ATM中，
，∴△DQC≌△ATM（AAS），
∴DQ＝AT，∴PF′＝DQ＝AT，∵BP，
∴BF′＝BP+PF′．∴BF的最小值为，
17.解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴DH＝CD＝1cm，
由垂线段最短可知：DP的最小值是1cm；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
则∠BAC＝90°﹣30°＝60°，BD＝2DH＝2cm，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD∠BAC＝30°，
∴AD＝2CD＝2cm，
由勾股定理得：AC22﹣12（cm），
∴S△ADB2（cm2）．
18.解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，此时S△ABCBC ADBP AC，
∵BC＝6，AD＝4，AC＝5，∴BP4.8．∴BP的最小值为4.8．
19.解：（1）△AEF是等边三角形．理由如下：
∵△ABC和△ACD均为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）由（1）知△AEF是等边三角形，
∴S△AEFAE2，
∴当AE⊥BC时，AE取得最小值，△AEF面积也有最小值，
此时AE＝AB sin60°＝42，
∴S△AEF（2）2＝12．