4.5 第1课时 问题解决策略：特殊化　课件(共18张PPT) 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

(共18张PPT)
第四章 三角形
4.5 问题解决策略：特殊化
第1课时 问题解决策略：特殊化
学习目标
（教师展示，1min）
1. 理解特殊化策略在解决数学问题中的重要意义，明确特殊化策略是解决复杂问题的有效手段之一.
2. 会识别出哪些类型的数学问题适合采用特殊化策略来解决，例如几何图形面积计算问题、与图形内点相关的线段关系问题等.
3. 能熟练地将一般性的数学问题转化为特殊情形进行思考，学会在不同特殊情形之间建立联系和转化，培养举一反三的学习能力.
新课导入
希尔伯特
在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一．
（师讲述，生感受，1min）
什么是特殊化
举个例子:
三角形的三条中线交于一点
等边三角形的三条中线交于一点
一般性问题
特殊情形
面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。
（师讲述，生感受，1min）
回顾七年级上册我们学过的数轴，点 a 在数轴上的
位置如图所示，你知道怎么快速比较 a，，|a| 的
大小关系吗
a
答：取 a＝－0.5，则 a，，| a | 三个数分别
为－0.5，－2，0.5，所以 < a < |a|.
（师讲述，生思考后回答，1min）
【学习任务1】
学生活动1：利用“角边角”判定三角形全等
（师提出问题，生思考，1min）
问题 如图，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH 的顶点E 与正方形ABCD 的中心重合。在正方形EFGH 绕点E 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少
（师提问，生动手操作，小组讨论后分享，5min）
在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现哪些情形
理解问题
对于这些不同情形，如何求这两个正方形重叠部分的面积
（师提问，生思考后回答，5min）
拟定计划
哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出
其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗？
S重叠=S正方形ABCD =
M
N
△BEM≌△CEN
S重叠=S△BEC =
M
N
P
Q
△EMP≌△ENQ
S重叠=S四边形EQCP =
（师总结板书，生记笔记，2min）
因为某些因素(如形状、位置或数值等)不确定，使得问题有多种情形时、可以限制这个引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特殊情形入手的策略解决问题。
问题思路受阻
发现特殊值(情形)
以特殊值(情形)找到思路
问题得以解决
【评价任务1】
（生独立思考，小组讨论后回答，5min）
【课本P115 】
1.如图，点P是等边三角形ABC 内的任意一点，过点 P向三边作垂线，垂足分别为 D，E，F。小颖从特殊情形入手，认为 AF+BD+CE等于△ABC周长的 。你知道她是怎么做的吗
解：小颖是从以下特殊情形入手：点P为等边三角形ABC三条高的交点，如图所示。
容易得到，△ABD≌ ACD，
所以 BD = CD。
同理可得 AF = BF， AE = CE。
因此，容易得到AF+BD+CE等于△ABC周长的
（生独立思考，举手回答，5min）
2.如图 ，四边形 ABCD 的面积是 16，各边中点分别为 M，N，P，Q，MP与 NQ 相交于点 O，求图中阴影部分的面积。
解：如图，连接OA，OB，OC，OD。
因为 M是AB的中点，
所以 AM = AB
所以 S△OAM = S△OAB
同理可得，
S△OAQ = S△OAD，
S△OCN = S△OBC，
S△OCP = S△OCD。
S阴影 = S△OAM + S△OAQ + S△OCN + S△OCP
= S△OAB + S△OAD + S△OBC + S△OCD
= S四边形ABCD
= ×16 =8
课堂小结
（师引导生回答，2min）
面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。
课堂练习
独立完成（10min）
解：如图，过点 A作BC的垂线交BC于点Q，连接AP，BP，CP.
1. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 内的任意一点，过点 P 向三边作垂线，垂足分别为点D，E，F. 小颖从特殊情形入手，认为 PD＋PE＋PF 等于△ABC 的高，你知道她是怎么做的吗
S△ABC＝S△ABP＋S△BCP＋S△ACP
Q
BC AQ＝AB PF＋ BC PD＋ AC PE
因为 AB＝BC＝AC，
所以 AQ＝PF＋PD＋PE.
所以 PD＋PE＋PF 等于△ABC 的高
2.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少
解：设这个三位数为 abc ( a、b、c 均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)，这个三位数的值是100a + 10b + c，各位数字之和是 a + b + c.
要求商最大，就要让被除数尽可能大，除数尽可能小.
商＝.
当这个三位数是 900，
当这个三位数是100，各位数字之和是 1+ 0 + 0 = 1 时，
商为 ＝100
各位数字之和是9+0+0=9 时，商为 ＝100；
所以一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是100.