2025年中考数学考前复习专题09：反比例函数（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题09：反比例函数
一、单选题
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，在反比例函数的图象上，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
6．如图是函数的图象，下列说法正确的有（　　）
①当时，随的增大而减小；
②是由先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的；
③与直线没有交点；
④若的图象与的图象只有1个交点，则或0
A．③ B．②③④ C．③④ D．①②③
7．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿x轴向右平移，平移后的直线与x轴交于点B，与函数的图象交于点C．若，连接，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
9．已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则的值为
10．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ．
11．如图，四边形是菱形，轴，垂足为函数的图象经过点，若，则菱形的面积为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在第一象限作正方形，点D在双曲线上；将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则的值是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点，．若正方形的面积为，，则反比例函数的解析式是 ．
14．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连接，取的中点D，连接，则的面积为 ．
三、解答题
15．如图，的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)将向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
16．已知反比例函数，为常数，．
(1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围；
(2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由．
17．如图，在中，，点C在x轴的正半轴上，轴于点B，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点C作轴，交反比例函数的图象于点D，求的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求k和b的值；
(2)连接，取线段上一点C，连接，使得与的面积比为，将线段绕点O逆时针旋转，得到，判断点是否落在函数（）的图象上，并说明理由．
(3)请直接写出当时，x的取值范围；
19．【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体．
10 20 30 40 50 …
… 8 2 …
(1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则：
①关于的函数解析式是________________．
②完成表格：______________；________________．
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
20．已知y1是自变量x的函数，当（k为常数，）时，称函数为函数的“k级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点B为点A关于的“k级点”．
例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”．点为点关于的“2级点”．
(1)如图，点在反比例函数的图象上，当点 B 为点A关于的“1级点”时，求点B的坐标；
(2)函数为函数的“k级函数”．
①求a的值；
②若点A在函数的图象上，点B为点A关于的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的取值范围 ；
(3)函数为函数的“级函数”，点C在函数的图象上，点为点C关于的“级点”．
①当时，的取值范围是，求t的值；
②点M，N在函数的图象上，它们的横坐标分别为a，，以线段为对角线作矩形，平行x轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为K，若矩形的边长度为5，请直接写出点K的纵坐标 ．
《2025年中考数学考前复习专题09：反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B D C B C
1．B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如且k为常数，的函数叫做反比例函数，据此可得答案．
【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中只有B选项中的函数是反比例函数，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由得反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，
∵，
∴，
故选：．
3．C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
根据反比例函数的性质即可解答．
【详解】解：由图象可知，反比例函数在二、四象限，
，
的值可能是，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象分布，根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可．
【详解】解：根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，，
∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得．
【详解】解：将点代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
∴，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
即的最小值为，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，观察图象判定①和②；根据当时，无意义即可判断③；联立方程组，展开化简得，然后分和讨论，即可判定④．
【详解】解：观察图象知：当时，随的增大而减小；是由先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的；
故①、②错误；
当时，无意义，
∴与直线没有交点，
故③正确；
联立方程组，
化简得，
当时，
∵的图象与的图象只有1个交点，
∴，
解得，
当时，方程可化为，解得，符合题意，
综上，的图象与的图象只有1个交点，则或，
故④正确，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差得到方程，求出得到点坐标，然后把点坐标代入中求出的值．
【详解】解：过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图，
，
，，
，
的两个锐角对应的外角角平分线相交于点，
，，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
把代入，
得．
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定和性质，依据题意，由点在函数上，可得的值，从而得反比例函数的解析式，求得的长，作，交轴于点，证明，根据相似三角形的性质求得的面积，最后计算得解，熟练运用反比例函数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：把代入，
可得，解得，
反比例函数的解析式为，
如图，作，交轴于点，
，，
将直线沿x轴向右平移，平移后的直线与x轴交于点B，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
的面积为，
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．
将代入求出的值，得到点的坐标，代入双曲线函数解析式中即可得到答案．
【详解】解：将代入，
，
即直线与双曲线的一个交点的坐标为，
将代入，
，
．
故答案为：．
10．0
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，，代入计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】首先设，则点的横坐标为，则可知点的坐标为，根据锐角三角函数的定义可知，求出，，根据勾股定理可以求出，再根据菱形的面积公式求出菱形的面积即可．
【详解】解：设，则点的横坐标为，
又函数的图象经过点，
则点的坐标为，
，，
，
，
，
，
解得：，
点在轴的正半轴，
，
，
，，
在中，
四边形是菱形，
，
菱形的面积为．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数的图象与性质、锐角三角函数、勾股定理，解决本题的关键是根据反比例函数和图象与性质分别求出、的长度，再根据勾股定理求出菱形的边长．
12．3
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质等知识，确定平移前后对应点C、E的坐标是解决问题的关键．
过点C作轴于N，与反比例函数交于点E；过点D作轴于M，证明，则可得C、D两点的坐标，从而求得反比例函数解析式，进而求得点E的坐标，即可求得平移值．
【详解】解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
如图，过点C作轴于N，与反比例函数交于点E；过点D作轴于M，
则，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
当时，，
∴，
当点C向左平移到E时，平移距离为，
即：，
故答案为3．
13．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
过点作轴与点，根据正方形的性质证得，结合求得、，得点的坐标，代入求得的值，即可求解反比例函数的解析式．
【详解】解：如图，过点作轴与点，
四边形是正方形，
，，
，，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
设，，
若正方形的面积为，
，
在中，，
，
解得：（负值舍去），
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标为代入，解得，
反比例函数的解析式为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．根据反比例函数值的几何意义和三角形中点平分三角形面积进行解答即可．
【详解】解：连接，
∵点在反比例函数的图象上，
，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
∵是的中点，
，
故答案为：．
15．(1)
(2)平移的距离为
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图形平移的性质，掌握待定系数求解析式，图形平移的特点是关键．
（1）由图可知点，点，点，运用待定系数法即可求解；
（2）运用待定系数法可得，则点，对于，令，根据平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：由图可知点，点，点，
反比例函数的图象经过点，
，
，
这个反比例函数的表达式为．
（2）解：设，将，点，代入得，
解得，
，
令，
点，
对于，令，
∴，
解得，，
平移的距离为．
16．(1)
(2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，理由见解析
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可．
【详解】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大，
，
．
（2）点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，
理由：，
．
这个函数的表达式为，
∵，
点在这个函数图象上，
当时，，
点不在这个函数图象上．
17．(1)
(2)4
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）勾股定理求出的长，进而得到点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，进而求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵轴，交反比例函数的图象于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)k和b的值分别为，5
(2)点是落在函数的图象上．理由见解析
(3)或
【分析】（1）将代入可求出b的值；将代入可求出k的值；
（2）由一次函数的解析式求出B点坐标为．根据与的面积比为，得出C为中点，利用中点坐标公式求出C点坐标为．过点C作轴，垂足为D，过点作轴，垂足为E．根据证明，得出，又在第二象限，得出，进而判断点是落在函数的图象上；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】（1）解：将代入，得，，
∴，
将代入得，，
解得，；
（2）解：点是落在函数的图象上．理由如下：
∵，
∴时，，解得，
∴．
∵与的面积比为，
∴C为中点，
∵，，
∴，即．
如图，过点C作轴，垂足为D，过点作轴，垂足为E．
∵将线段绕点O逆时针旋转，得到，
∴．
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∵在第二象限，
∴，
∴点是落在函数的图象上．
（3）解：由题意可联立：，
解得：或，
∴反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为，
由图象可知：当时，x的取值范围为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握．
19．(1)
(2)①；②，；③见解析
(3)或
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键．
（1）根据题意，直接根据求解即可；
（2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象；
（3）由题意，设，利用坐标与图形性质得，进而由解方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，
∴重物所受拉力为，
故答案为：；
（2）解：①由得，则，
∴关于的函数解析式为；
②当时，；
当时，；
故答案为：；
③列表：
10 20 30 40 50 …
… 8 4 2 …
描点，连线，可得该函数的图象：
（3）解：如图，
由题意，设，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴,
由得，
解得，，
经检验，和是所列方程的解，
当时，，当时，，
∴点C的坐标为或．
20．(1)
(2)①；②
(3)①的值为或；②或
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，反比例函数，一次函数的性质，熟练利用分类讨论，正确画出图形是解题的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）①根据题意可得，对应左边两边未知数的系数即可解答；
②表示出点的纵坐标，按照题意列不等式即可解答；
（3）①根据点为点C关于的“级点”求得点的坐标，即可求得的解析式，分类讨论，按照题意求解即可；
②分类讨论，分点在点的左边或点在点的右边，分别求解即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
则点的纵坐标为，
；
（2）解：①∵函数为函数的“k级函数”，
，
则，
解得；
②设，则，
根据题意可得，
解得，
故答案为：；
（3）解：①∵函数为函数的“级函数”，
，
∵点为点C关于的“级点”，
设点的纵坐标为，
，
解得，
，
∵点C在函数的图象上，
，
，
∴，
，
∴当时，，
当时，，
对称轴为直线，
当时，，
当，即在对称轴左侧时，
则当时，取最小值，
即，
解得（舍去），
；
当，即在对称轴右侧时，
则当时，取最小值，
即，解得，
，
，即，
成立，
综上，的值为或；
②，
则函数的对称轴为直线，
矩形与函数的图象有且只有三个公共点，
在函数的对称轴的两侧，
即，解得，
情况一：当点在点的上边时，
如图，当的纵坐标比大时，
则，解得，故情况不存在，
如图，当的纵坐标比小时，
，
则点的纵坐标比点的纵坐标大，
即，
解得（负值舍去），
把代入函数可得，
故点的纵坐标等于点的纵坐标为；
情况二：当点在点的下边时，当的纵坐标比大时，
，
则点的纵坐标比点的纵坐标小，
即，
解得（负值舍去），
把代入函数可得，
故点的纵坐标等于点的纵坐标加为，
综上，点的纵坐标为或，
故答案为：或．
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