2025年中考数学考前复习专题11：三角形综合（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题11：三角形综合
一、单选题
1．用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．题目：“如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，求的长．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．甲、丙两人答案合在一起才完整
C．乙、丙两人答案合在一起才完整
D．甲、乙、丙三人答案合在一起才完整
3．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题：
①如果，那么为中点；
②如果，那么．
对于这两个命题判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题．
4．如图，正方形的周长是16，点是的中点，以为边在右侧作等边，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，，则的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）．
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
7．如图，在探究活动中，某小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点顺时针旋转，旋转后上方正六边形纸片的两边与边分别交于点，．该小组得到结论、，下列判断正确的是（ ）
结论：当时，阴影部分是正十二边形；
结论：连接、．在旋转过程中，的度数不变
A．结论都正确 B．结论都不正确
C．只有结论正确 D．只有结论正确
8．如图，是等边三角形内的一点，连接、、，且，将绕点顺时针旋转到的位置．连接，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，已知，点D在延长线上，，则 ．
10．如图，是的平分线，于E，，，则的长是 ．
11．如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为 ．
12．如图，在矩形中，，，点是边上一点（点不与端点重合），连接，点关于的对称点在矩形内，连接、，若是直角三角形，则的面积为 ．
13．如图，中，，将绕点C逆时针旋转α（）得，若交于点F，当 时，为等腰三角形．
14．如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是 ．
三、解答题
15．如图，三角形在平面直角坐标系中，
(1)写出点的坐标 ，以及点在第 象限；
(2)将三角形先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到三角形，请画出平移后的图形；
(3)直接写出三角形的面积为 ．
16．请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中作一点，使．
(2)在图2中作一点，使．
17．如图，矩形中，的平分线交于点，O为对角线和的交点，且，求的度数．
18．图1所示是一座安装在山坡上的风力发电机．如图2，某同学为测量风力发电机塔杆的高度，站在水平地面上的点P（坡底）处，测得，另测得，点P到风力发电机的底端B的这段斜坡的长为．

(1)求的度数；
(2)求该风力发电机塔杆的高度（结果保留小数点后一位）．
（参考数据：，，，）
19．如图，在矩形中，是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，．
(1)如图1，若是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接．求的度数；
(2)如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点．
①求证：垂直平分；
②当时，探究线段与线段的数量关系，并说明理由．
20．如图，中，，点为边上一点（不含端点），将沿折叠，点落在点，连接，直线与边交于点，设．
(1)时， ；
(2)如图1，点为中点时，求；
(3)如图2，平分时，直接写出的度数并求出此时的值；
(4)如图3，点在上方时，直接写出点到的距离（用含的代数式表示）．
21．如图1，在等腰中，，点E在上（且不与点A、C重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，将绕点C逆时针旋转，当点E在线段上时，连接，求证： ；
(3)如图3，将绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形为菱形，且在的下方时，若，，求线段的长．
《2025年中考数学考前复习专题11：三角形综合》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C A C A D
1．A
【分析】本题主要考查垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图，熟练掌握垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项．
【详解】解：A、由图可知：是的中线，故符合题意；
B、由图可知：不是的中线，故不符合题意；
C、由图可知：不是的中线，故不符合题意；
D、由图可知：不是的中线，故不符合题意；
故选A．
2．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据甲、乙、丙的说法分类讨论等腰三角形的具体情况，即可得出结果．
【详解】解：当时，点在点右侧，则，所以，此时为等腰三角形；
当时，点在点右侧，即，，此时为等腰三角形；
当时，点在之间，，即，，，此时为等腰三角形；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②．
【详解】解析：①三角形为等边三角形，
∴，
，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
，
∵，，
，
，
为中垂线上的点，
∵，
∴为中垂线上的点，
∴垂直平分，
为中点；
所以①为真命题；
假设与不平行，作，与交于点，作，则：，，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，即：，与矛盾，
∴假设不成立，
∴；故②为真命题．
故选A．
4．C
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形，结合图形构造直角三角形是解题的关键．过点作，交于点，交于点，通过证明四边形是矩形，得到，，，再利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，，最后在中利用正切的定义即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点，
正方形的周长是16，
，，，
点是的中点，
，
，，，
四边形是矩形，
，，，
是等边三角形，
，，
，，
，，
，，
，
在中，，
．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质；根据勾股定理求出，由角平分线性质定理得，再证明可得，可得出，再由的周长求得结论．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查等腰三角形，等边三角形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，进行解答，根据旋转的性质，可得，，根据三角形的内角和，可得，判断①；根据旋转的性质，三角形的内角和，平角的性质，可得，判断②；连接，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得，判断③；连接，根据旋转的性质，可得，，根据等边三角形的判定和性质，可得是等边三角形，，根据三角形三边的关系，可得，进行判断④，即可．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴②正确；
∴，
∵，
∴，
∴；
∴①正确；
连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴③正确；
连接，
由旋转可得：，，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴④错误；
正确的为：①②③；
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，当时，由旋转性质可知，由正六边形中可得，证明，则，同理，所以，从而判判断，同上理可得，，故有，从而判断，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，当时，
由旋转性质可知，，
由正六边形可得：，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴阴影部分的边数为，即正十二边形，故正确；
如图，
同上理可得：，，
∴，故正确；
故选：．
8．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，三角形的三边关系，熟练掌握是解答本题的关键．
根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断B；依据是等边三角形，即可得到，即可判断A；进而得出，即可判断C；根据三角形三边关系即可判断D选项．
【详解】解：是等边三角形，
，
将绕点顺时针旋转到的位置，
，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，即是直角三角形，故B正确；
是等边三角形，
，故A正确；
，故C正确；
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
在中，，
即，故选项D错误．
故选：D．
9．70
【分析】本题考查三角形的外角的性质，根据三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和，进行求解即可．
【详解】解：∵点D在延长线上，
∴是的一个外角，
∴，
∵，
∴；
故答案为：70
10．
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答．
【详解】解：过点D作于点F，
∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
11．/10度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形两个锐角相加等于是解题的关键．先计算出和的度数，再根据即可求解．
【详解】解：，，，
，
，
．
故答案为： ．
12．6
【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据矩形和对称的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，，进而得出、、三点共线，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，
矩形，
，，，
由对称的性质得，，，，
点在矩形内，是直角三角形，
，
，，
、、三点共线，
设，
，，
在中，，
，
解得：，
，
的面积．
故答案为：6．
13．或
【分析】根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解．本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角，得到
，，
，
，
根据三角形的外角性质，，
是等腰三角形，分三种情况讨论，
①时，，无解，
②时，，
解得，
③时，，
解得，
综上所述，旋转角度数为或．
故答案为：或．
14．/度
【分析】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质．
根据菱形性质，证明，结合全等三角形性质和判定，折叠的性质推出，再利用三角形内角和定理求解，即可解题．
【详解】解：四边形是菱形，，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案为：．
15．(1)，二
(2)画图见解析
(3)
【分析】（）根据图形写出坐标即可；
（）根据平移的性质作图即可；
（）利用割补法计算即可；
本题考查了坐标与图形，图形的平移，三角形的面积，掌握平移作图是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可得，点的坐标为，在第二象限，
故答案为：，二；
（2）解：如图所示，三角形即为所求；
（3）解：，
故答案为：．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的基本作图方法，是解题的关键．
（1）作外接圆的圆心，则圆心D即为所求；
（2）方法一：延长，截取，则此时点E即为所求；方法二：延长截取，则点E即为所求．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求作的点，
∵，
∴；
（2）解：方法一：如图，点E即为所求；
∵，
∴，
∴；
方法二：如图，点E即为所求；
∵，
∴，
∴．
17．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由矩形的性质得到，，，则由角平分线的定义可推出，则，证明是等边三角形，得到，，则可推出，，据此可得答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含角的直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据邻补角以及互余求出的度数，再由即可求解；
（2）先解，求出，再解求出，最后由即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴，
答：风力发电机塔杆的高度为m．
19．(1)
(2)①证明见解析；②，理由见解析
【分析】（1）由矩形性质得到相关边与角，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，然后结合旋转性质得到，最后由等腰三角形的性质即可得到答案；
（2）①由平角定义、旋转性质得到点在线段的垂直平分线上，再由两个直角三角形全等的判定定理得到，结合垂直平分线的判定即可得证；②由垂直平分线性质，结合互余得到，从而由相似三角形的判定确定，由相似性质得到，根据条件，设，则有，由旋转性质，解直角三角形即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
四边形是矩形．
，，
，
，
是边的中点，
．
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
将绕点顺时针旋转得到
，
；
（2）解：①如图所示：
，
，
将绕点顺时针旋转得到．
．
点在线段的垂直平分线上．
在和中，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上
垂直平分．
②．
理由如下：
垂直平分，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
设，
，
，
，
，
旋转得到
，
．
在中，．
设，则，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查四边形综合，综合性强，难度较大，涉及矩形性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转性质、垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角函数定义、勾股定理等知识．灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键．
20．(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由折叠性质，对顶角相等，结合三角形内角和定理分情况即可求出结果；
（2）如图1，过点P作交与点G，先判定出为等腰直角三角形，在中，利用勾股定理求出的长，再根据求出的长，从而求出结果；
（3）由折叠性质以及三角形内角和得到，再过点P作，利用勾股定理以及三角函数求出结果；
（4）过点D作，连接交与点H，利用勾股定理，三角形函数得到，再根据，，，求出结果即可．
【详解】（1）解：如图1，时，由折叠可知：，
，
有对顶角相等可得：
，
在中，
，
如图2：时，
由折叠可知：
则，
在中，
；
如图3：时，，
与图2同理，，
故答案为：或；
（2）如图1，过点P作交与点G，
为中点，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在中，
；
（3）如图2：平分，
，
由折叠可知：，
，
在中，
，
如图，过点P作，
，，
即，
在中，，
则，，
，
，
在中，，
，
解得：或
，
，
则；
（4）如图：过点D作，连接交与点H，
在中，，
由折叠可知，垂直平分，
在中，，
，则，
，
，
在中，，
而，，
即
，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线定义等相关知识，熟练掌握相关知识定理，准确作出辅助线为解题关键．
21．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质得出，，即可证明是等腰直角三角形；
（2）连接，先证明，再证明是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）当时，四边形是菱形，先求得，在中，，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
在等腰中，，点E在上（且不与点A、C重合），在的外部作等腰，使，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：连接，如图2，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：当时，四边形是菱形，
设交于H，
∵，，可得垂直平分，
∵，
在等腰直角中， ，
在中，，
由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，线段垂直平分线的判定和性质，掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
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