2025年中考数学考前复习专题12：四边形综合（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题12：四边形综合
一、单选题
1．如图，在矩形中，，点为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则的长是（ ）
A． B． C．3 D．
2．如图，在矩形中，，，连接，以点C为圆心，为半径作弧交于点E，连接．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，为上的一点，且，，分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ）
A．24 B．12 C．17 D．22
5．如图，四边形为平行四边形，为的中点．下列两个方案中，能得到以A，B，F，C为顶点的四边形为平行四边形的是（ ）
方案一 为和的延长线上的交点 方案二 为和的延长线上的交点
A．只有方案一 B．只有方案二 C．两个方案都不行 D．两个方案都行
6．如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（ ）

A．，，，
B．，
C．，
D．，，，
7．如图，在菱形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如题图，正方形中，E为线段上一点，过B作于G，延长至点F，使，交于点K，延长交于点M，连接，若C为中点，，下列结论：
①，②点G为线段的三等分点；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，B点坐标为，矩形与y轴正半轴交于点H，若沿着翻折后点D 的对应点恰好落在对角线上，则点 C 的坐标为 ．
11．如图，在矩形中，，，平分交于点，过点作交于点，连接并延长交于点，交于点，则与的面积比为 ．
12．如图，四边形是菱形，，，于点E，则 ．
13．如图，C是线段上一点，分别以为边向上作等边三角形，连结，顺次连接中点F、G、H、M得四边形，若，则四边形面积 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ．
三、解答题
15．已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合．
(1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕；
(2)分别连接，若，求四边形的面积．
16．如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作边垂线，垂足为，延长到点，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
17．已知点，分别在矩形的边，上，以为折痕，将四边形翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，，．
(1)如图，当点在上，与交于点时，
若点为的中点，求的长；
若与全等，求和的长；
(2)如图，的对应边恰好经过点，过点作于点，交于点，连接，若，求的长．
18．菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点．
(1)如图1，为中点，．
①求证：；
②若，求线段的长；
(2)如图2，点在边上，若，，求线段的长．
19．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
(1)当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
(2)当，求的最小值．
20．数学实验：折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
《2025年中考数学考前复习专题12：四边形综合》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D D D C C D
1．D
【分析】本题主要考查了与矩形有关的折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
设，则，由折叠性质可知，，由勾股定理可得，则，然后在中，由勾股定理得，解得x的值即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
设，则，
由折叠性质可知，，，
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得：．
∴．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，特殊角的三角函数．熟练掌握矩形的性质，扇形的面积公式，特殊角的三角函数是解题的关键．
利用特殊角的三角函数求出，再根据矩形的性质求出的度数，最后利用阴影部分面积求解即可．
【详解】解：在矩形中，，，，
，
，则．
阴影部分面积
．
故选A．
3．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系．根据菱形的性质求出，求出，根据，计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，根据矩形的性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，据此利用勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，分别为，的中点，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴则四边形的周长，
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质，方案一证明可得，，即可判断四边形是平行四边形；方案二通过证明可得，，即可判断四边形是平行四边形，从而可得结论．
【详解】解：方案一：∵四边形是平行四边形，为的中点，
∴
∴
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
方案二：∵四边形是平行四边形，
∴，互相平分于点，如图，
又为的中点，
∴为的重心，
∴为边上的中线，为边的中点，
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
综上，方案一和方案二都正确，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、，，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形，故不符合题意；
B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意；
C、，，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，故符合题意；
D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意；
故选：C．
7．C
【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，根据菱形的性质求出，再由等腰三角形的“等边对等角”即可解答．
【详解】解：∵在菱形中，平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C
8．D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据上述性质逐一判断即可，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，故①正确；
如图，过点作于点，连接，
，
，
为等腰直角三角形，
为的中点，
，，
，
，
，
，
，
点G为线段的三等分点，故②正确；
，
，
，故③正确；
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，故④错误；
，故⑤正确，
则正确的有4个，
故选：D．
9．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据矩形的性质可得，，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
，，即，
，，
，，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查坐标与图形，矩形与折叠问题，勾股定理，连接，翻折得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的值，进而得到点 C 的坐标即可．
【详解】解：连接，
∵矩形，点A的坐标为，B点坐标为，
∴，，，，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∵点落在对角线上，
∴，
∴，
设，则，
∵点落在对角线上，
∴
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∴；
故答案为：．
11．/
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，结合角平分线的性质.延长交延长线于N，作于M，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，结合角平分线的性质，证明，，得到，，，再证明和，求出与的面积，从而得到其比值．
【详解】延长交延长线于N，作于M，
，，，
，
平分，
，又
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求出的长，再根据菱形面积计算公式可得，据此列式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了等边三角形的面积，三角形中位线定理，勾股定理等知识，连接，过点作交于点，交于，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，先求出四边形的面积，再根据三角形中位线定理求出，从而得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点作交于点，交于，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，
∵为等边三角形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，且，
∴，
同理：，
∴，
同理：，
∴，
∴∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键．
作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，根据点在以为圆心，为半径的上运动，可知当经过圆心时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理求出，进而可求出，即，设点的横坐标为，根据中位线的性质可知点的纵坐标为，再根据勾股定理即可求出的值，随即可知点的坐标．
【详解】解：如图，作点关于点的对称点，
则点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
当最大时，最大，
点为坐标平面内的一点，且，
点在以为圆心，为半径的上运动，
当经过圆心时，最大，即点在图中位置，
，
，
，
设点的横坐标为，
∵，，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得（负值去除），即点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：．
15．(1)见详解
(2)24
【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求．
（2）设交于点O，得，，结合矩形的性质、菱形的判定可得四边形为菱形，则， ，则，可得四边形的面积为．
【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求：
（2）解：设交于点O，
由（1）可得，，．
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴
∴
∴，
∴四边形AFCE的面积为．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质、矩形的性质、翻折变换（折叠问题），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形性质得到，再由平行四边形的判定，结合即可得证；
（2）由菱形性质，在中，由勾股定理得到，再由菱形面积公式列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
．
又，
，
．
∴四边形是平行四边形．
，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，，．
在中，，．
．
，
，
．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及菱形性质、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、菱形面积公式及等面积法求线段长等知识．熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
17．(1)；，；
(2)．
【分析】（）由折叠性质可知，，，设，则，，再由勾股定理得，即，求出的值即可；
由四边形是矩形，得，所以，则与全等的情况只能为，设，则，，由勾股定理，得，即，求出的值即可，再证明，所以，即，求出，再由折叠性质即可求解；
（）连接，，，由点，关于直线对称，则，证明，，设，则，在中，，在中，，求出的值即可．
【详解】（1）解：由折叠性质可知，，，
∵点为的中点，
∴，
设，则，，
由勾股定理，得，即，
解得
∴的长为；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴与全等的情况只能为，
∴，，
设，则，，
由勾股定理，得，即，
解得或（舍去），
∴的长为，
∴，，．
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
由折叠性质可知，，
∴，
（2）如图，连接，，，
∵点，关于直线对称，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，轴对称性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
18．(1)①证明见解析；②
(2)或
【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解；
（2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解．
【详解】（1）①证明：四边形是菱形，
，，
,
，
，
，
，
；
②解：如图，延长与交于点，
四边形是菱形，
，，
，
为中点，
，
由①得，，
，
，，，
，
，，
，
同理可得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
线段的长为．
（2）解：如图，延长与交于点，连接，
四边形是菱形，
，，，
和是等边三角形，
，，
，
，
，
，即，
，
；
，
，
，
设，则，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，，
①当时，，
，
设，则，
作于点，则，
，，
，
在中，，
，
解得：，（舍去），
，，
；
②当，，
，
同理①的方法可得，，，
；
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生．
19．(1)①作图见解析，；②
(2)
【分析】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解；
（2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
20．(1)作图见解析；
(2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析；
(3)改变；的周长的最小值为；
【分析】本题考查了正方形的折叠问题．
（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到；
（2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可；
（3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可．
∵，，
∴．
∵，分别是，的角平分线，
∴
∴
故答案为：；
（2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴点G是的中点，
∴点G在边、的垂直平分线上；
（3）解：如图，作的角平分线交于E，连接，
∵是折痕，
∴且垂直平分
∴，
∵为定值即，
∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长，
故的最小值为，
此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图：
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
即，
∵
∴
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