2025年中考数学考前复习专题13：圆综合（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题13：圆综合
一、单选题
1．以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，正边形的边心距为直角三角形的斜边，那么的值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
2．边长为a的正十边形的半径是（ ）
A．； B． C． D．
3．如图，为的弦，直线与相切于点C，且，连接，，若点D为弦所对弧上一点，则为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
5．如图，在中，是切线，为切点，直线交于点，点为上的一点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，点D在边上，点O为的内心，当为钝角三角形时，，则和的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，四边形内接于，连接、、，于点P，若，，则的半径长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8．如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米．
10．如图是一个圆形拱桥的截面，已知直径为，若水面宽，则水的最大深度是 ．
11．如图，是的外接圆，为的切线，经过圆心，且，则的度数为 ．
12．如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是 ．

13．如图，在直径为6的中，点E，F在半圆上，C是直径上一点，连接．若满足，且，则弦的长为 ．

14．如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度 ．
三、解答题
15．如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
16．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
17．如图，在矩形中，，为上一点，且，连结，是中点，连结，以为直径作；
(1)用a的代数式表示___________，___________；
(2)求证：必过的中点：
(3)若与矩形各边所在的直线相切时，求的值；
(4)作关于直线的对称点，若落在矩形内部（不包括边界），则的取值范围___________，（直接写出答案）
18．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，交轴于点，点，交轴的正半轴于点，平分交于点，过点作于点，交轴于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
19．已知，的半径与弦交于点．

(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长．
20．综合与实践
主题：日月贝的设计与数学思考
【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光．
【素材一】如图和图所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为米，日贝高为米，和分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的．
【问题一】
（1）求和的长度（结果取整数）．
【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题．
【问题二】
（2）如图，在等腰直角中，，．在（1）的条件下，计算的长度（结果取整数）．
（参考数据，，，，）
《2025年中考数学考前复习专题13：圆综合》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C A D C D D
1．C
【分析】设是的直径，，四边形是的内接正三角形，正四边形，交于点，可证明，设，则，连接，作于点，求得，则，设正边形的边心距为，则， 如图，令正边形的一条边为，过点作，则，求得，则，可知为等边三角形，则，即可求解．
【详解】解：如图，是的直径，，四边形是的内接正三角形，正四边形，交于点，
，
，
，
∴是正三角形的边心距，，
，
，
设，则，
连接，作于点，
，
，
，
设正边形的边心距为，
∵以的内接正三角形，正四边形，正边形的边心距为三边作三角形得到直角三角形，
，
如图，令正边形的一条边为，过点作，则，
则，
∴，
∴为等边三角形，则，
，
故选：C．
【点睛】此题重点考查正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理等知识，设圆的内角正三角形的边心距为，推导出该圆的内接正边形的边心距为是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查三角函数，正多边形的性质，根据题意画出图形，过点O作交与点M，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，，最后根据余弦的定义求解即可得出答案．
【详解】解：如图，正十边形的中心角，
过点O作交与点M，
∴，，．
∴，
∴
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，由切线的性质得，由垂径定理得，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：∵直线与相切于点C，
∴．
∵，
∴，
∴．
当点D在优弧上时，
．
当点D在劣弧上时，
．
故选C．
4．A
【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
取中点，再取中点，连接，，点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，当点、、共线时，值最小，再进一步可得答案．
【详解】解：矩形，
，，
如图，取中点，再取中点，连接，，
，，
，，
点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，
点为的中点，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，
当点、、共线时，值最小，
连接，
最小为，
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接，首先由切线得到，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，切点是B，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵圆周角与圆心角所对的弧是，
∴．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心，
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得，由为的内心，可得，所以，由点在线段上（不与重合），可得，进而可得，再根据为钝角三角形，得出，即可得出．
【详解】解：在中，，，
，
∵为的内心，
，
，
∵点在线段上（不与重合），
，
，
，
∵为钝角三角形，，，
，
，
，
，
综上，，
∴，．
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了圆内接四边形、圆周角、等腰三角形性质以及解直角三角形等知识，正确确定的角度以及的长度是解题关键．首先根据圆内接四边形的性质确定的值，进而可得的度数，再根据等腰三角形“三线合一”的性质确定的角度，的长度，然后利用三角函数解得的值，即可获得答案．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
即的半径长为4．
故选：D．
8．D
【分析】先根据切线的性质得，，，，，，，，因为，故平分，同理得平分，再结合等边三角形的性质得，运用三角函数得，则，即，同理得，得：，结合矩形的判定与性质得，，再分别表示，即可作答．
【详解】解：如图，设、、分别与相切于点、、，、分别与相切于、，连接、、、、、、，
则，，，，，，，，
，
平分，
同理，平分，
、、三点共线，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，，
，
，
得：，
如图，过点作，交的延长线于，
则，
∴四边形是矩形，
，，
，，
在中，，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握特殊切线长定理，勾股定理，特殊角的三角函数，等边三角形的性质是解题的关键．
9．2π
【分析】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接，由正方形的两种可求出根据勾股定理求出，再根据圆的面积计算公式可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为4，
∴，
连接，如图，
∵正方形内接于，
∴，
∴由勾股定理得，
∴的面积为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作交于点，交于点，连接，可得，即得，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，连接，
∵，，
∴，
∵直径为，
∴，
∴，
∴，
即水的最大深度是，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查圆的切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
连接，可知，进而可求得的度数，利用圆周角定理，即可得到的度数．
【详解】解：连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．/70度
【分析】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．
连接，根据圆周角定理求出和，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：连接，
，
，
为的直径，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，延长交于，连接交于，连接，，先由得到点关于直径对称，垂直平分，由，得到，那么，得到，，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：延长交于，连接交于，连接，，

∵，，
∴，
∴点关于直径对称，
∴，垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵直径为6的，
∴，
∴，
故答案为：．
14．2.4
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，点的坐标． 根据题意得出最大的情况是解题的关键．
连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，根据勾股定理求出，延长交于点，此时最大，，由，此时，然后 根据，即可求解．
【详解】解：如图，连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，
∵点A，B的坐标分别为，，
∴，，
∴，
延长交于点，此时最大，，
∵，此时，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2.4．
15．(1)是的切线
(2)1
【分析】（1）先利用圆周角定理证得，再根据平行线的性质，求得，然后利用切线的判定得出结论；
（2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，
．
，
．
∵是半径，
是的切线．
（2）设与相交于点D．
，
．
∵，
．
，
，
．
，
．
设，则．
∴在中，．
．
．
．
，
，
．
．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接．根据切线的性质得出，结合，得出，从而得出．根据等腰三角形的性质得出，即可得，即可证明．
（2）先证明，求出，勾股定理求出，从而得．再根据，得出，即可求出，，根据勾股定理即可求出，．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的切线，
，
又，
，
，
．
，
，
，
．
（2）解：如图，，
，
∴，
，
，
，
．
，
，
，，
，
．
【点睛】该题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
17．(1)，；
(2)见解析
(3)a的值为或
(4)
【分析】本题是圆和四边形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质定理、垂径定理、矩形与折叠问题，第三问和第四问中采用分类讨论的思想，注意不要丢解，第四问有难度，准确画出图形是关键．
（1）如图1，根据勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，代入可得结果；
（2）如图1，证明四边形是矩形，得，所以必过的中点；
（3）因为不可能与边和相切，所以分两种情况：①如图2，当与边相切时，根据中，，列式，求的值；②如图3，当与边相切时，设切点为，根据： 且，列式可得结论；
（4）分别计算当最小和最大时，即在边上和边上，作辅助线，根据对称点的连线被对称轴垂直平分，由线段垂直平分线的性质列式可得结论．
【详解】（1）解：如图1，
四边形是矩形，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
设交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为：；；
（2）解：如图1，设交于，连接，
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
即必过的中点；
（3）解：分两种情况：
①如图2，当与边相切时，设切点为，连接、交于，则，
由（2）得，，，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
，
②如图3，当与边相切时，设切点为，连接，则，连接，交于，
同理可得，，，
，
由（1）知： 且，
，
解得，
综上所述，若与矩形各边所在的直线相切时，的值为或；
（4）解：如图4，当的对称点恰好在边上时，连接交于，连接、，过作，交于，交于，则，
关于直线的对称点，
是的垂直平分线，
，，
由（1）（2）得：，，
，
由勾股定理得：
即，
解得：（舍，，
当时，落在矩形外部（包括边界）；
如图5，当落在边上时，连接、，设交于，连接，延长交于点，
，，
，
四边形为矩形，
，
关于直线的对称点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
在中，，
解得（负值舍去），
的取值范围是：，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，扇形的面积公式，勾股定理，坐标与图形，等边三角形的判定和性质，切线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）连接，证明，推出，即可证明为的切线；
（2）设，根据题意得到，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用三角函数求得，再根据阴影部分的面积，利用扇形和三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：如图所示，连接，设，
∵，，，
∴，
在中，由勾股定理得 ，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴
∴阴影部分的面积
．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）由垂径定理的推论结合同圆中弧与弦的关系即可求证；
（2）延长交于点，连接，由圆周角定理得到，那么，再由圆周角定理得，结合对顶角相等即可求证；
（3）连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，可得 ，由等角正确相等得到，设，则，则，由勾股定理求出，则，由，得到，那么，，在中，由勾股定理建立方程 ，求解，再由线段和差计算即可．
【详解】（1）证明：∵，经过圆心，
∴，
∴；
（2）证明：延长交于点，连接，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，

∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，设，则，
则，，
∴，
解得：（舍负），
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，垂径定理推论，勾股定理，解直角三角形的相关运算，矩形的判定该与性质等知识点，难度较大，计算复杂，正确添加辅助线解三角形是解题的关键．
20．（1）米， 米；
（2） 米
【分析】过点作，垂足为点，连接，设月贝半径为 ，根据月贝的高度是米，可得：，解方程求出月贝的半径，根据勾股定理可求米，设日贝的半径是米，根据日贝的高度是米，可得：，可求米，利用勾股定理可求米；
设，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可得：，解方程求出米，过点作 ，利用锐角三角函数可得：，从而可求米，根据垂径定理可知米．
【详解】解：如下图所示，过点作，垂足为点，连接，设月贝半径为 ，
月贝高米，且 ，
，
解得：米，
在 中米，
米，
设日贝的半径是米，
日贝的高度是米，
，
解得：米，
米，
答： 的长度为米， 的长度为 米；
解：设，
在等腰 中，米，米，
，
解得：米，
过点作 ，
，
，
解得：米，
米，
答：的长度为米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，解直角三角形求线段的长度．
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