2025年中考数学考前复习专题14：图形的相似（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题14：图形的相似
一、单选题
1．已知，相似比为，那么和的周长比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为12，则面积为（ ）
A．54 B．32 C．27 D．
3．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，平分．与交于点．若，则的长度为（　　）
A．1 B．3 C． D．
5．如图，在正方形中，M为的三等分点，，对角线与相交于点F，过点F作的垂线，垂足为G，过点F作的垂线，垂足为E，已知，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．矩形中，，，点在线段上，，连接，过点作，垂足为，与对角线交于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．3
8．如图，在正五边形中，连结，，过点作的垂线，与边交于点，与对角线交于点，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．点是的黄金分割点
二、填空题
9．如图，在中，，，，，点是的中点，、相交于，则四边形的面积为 ．
10．如图，矩形中，点为边的中点，连接，点为边上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为 ．
11．如图，在中，分别交、于点、，交于点，，，则的长为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为．以点为位似中心．在x轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ．
13．如图，小孔成像实验如图，抽象为数学问题如图，与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ．

14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，点分别是正方形的边上的动点，且，过原点作，垂足为，连接，则面积的最大值为 ．
三、解答题
15．如图，在中，为对角线，过点B作交于点E，交于点F，交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)如果，求证：四边形是矩形．
16．如图，是一张锐角三角形纸片．
(1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线，交于点；
②在、上分别取两点和，连接、，使四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
17．如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，．
(1)求的值；
(2)设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
(3)当时，判断与是否相似并说明理由．
18．【问题情境】在矩形中，点E为边上一个动点，连接．将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．
【探究发现】
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长．
【拓展延伸】
（3）若矩形满足，点E为边上一个动点，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的正切值．
19．如图①，在菱形中，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动．交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
(1)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(2)是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式；
(4)如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由．
20．如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、．
(1)求证：；
(2)延长交所在直线于点；
①若，时，求的面积；
②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长．
《2025年中考数学考前复习专题14：图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C D B A A C
1．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比，是解题的关键．根据相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，相似比为，
∴和的周长比为．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，
根据可得，即可得出，再结合可得答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
故选：C.
3．C
【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．根据，即可求出．
【详解】解：∵P为的黄金分割点
∴
∴
故答案为：C．
4．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用等腰三角形以及三角形内角和，求得，再利用角平分线，求得，然后计算出，推出，最后证明，然后利用对应边成比例求得答案．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去负值）
故选：D．
5．B
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，由正方形得到，，，则，结合三等分点得到，再由垂直证明，得到，即可求出的长度．
【详解】解：∵在正方形中，，
∴，，，
∴，
∵M为的三等分点，，
∴，
∴，
∴，
∵过点F作的垂线，垂足为G，
∴，
∴，
∴，则，
解得，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∵的周长与的周长比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质证明和，根据相似三角形的性质列出比例式，求解即可．
【详解】解：如图所示,延长交于点
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8．C
【分析】连接交于点，连接，由正五边的性质求出，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，然后证明，得出，证出，则可得出；再证明，则，整理得，解得（负值已舍去），则，所以点是的黄金分割点，再得出，算出，即可作答．
【详解】证明：如图，连接交于点，连接，
正五边形的内角和是，
∴，
∵过点作的垂线，
∴，
∴
在中，，
故A选项是正确的，不符合题意；
，
，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，
又，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
∴，
故B选项是正确的，不符合题意；
∵，，
∴
∵，
∴，
即，
∵，，
即，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，
即，
∴点是的黄金分割点，
故D选项是正确的，不符合题意；
则，
∴，
∴，
则，
即，
∵，
∴，
∴，
故C选项不是正确的，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，，作交于点，则，得出，证明得出，证明得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，作交于点，
∵中，，，
∴
∵是的中点，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵为的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形的面积为
故答案为：四边形的面积为．
10．
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，延长交的延长线于点，过点作于点，可证，可得，即得，得到，进而得到，利用勾股定理得，又由余角性质可得，由三角函数得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，则，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．4
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，由，，得四边形是平行四边形，，设，由，可得，即可解得答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴,
故答案为：4．
12．
【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，作轴于，作轴于，由题意可得，，，，，，，，由相似三角形的性质得出，再证明，求出，再求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作轴于，作轴于，
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，，，，，
由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由可得，即得，据此解答即可求解，掌握相似三角形的对应高之比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
14．/
【分析】连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作于点，如图所示，先证明，再证点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大，由相似三角形的性质可求，的长，由三角形的面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作于点，如图所示：
直线分别与轴、 轴相交于点、，
点，点，
, ，
，
四边形是正方形，
，
，，
又，
，
，
点是的中点，即点是的中点，
，
，
，
点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大，
点是的中点，
，
，，
，
则，
，
，
又，
，
，
则 ，解得，，
，
，，
，
，即，
，
，
点到的最大距离为，
面积的最大值，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，涉及正方形的性质、勾股定理、一次函数图象与性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、动点最值-辅助圆问题等知识，求出的长是解题的关键．
15．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形性质，结合相似三角形的判定得到，由相似比变形即可得证；
（2）由题中条件，结合相似三角形的判定得到，再由相似三角形的性质得到，根据四边形是平行四边形，由矩形的判定即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
16．(1)①图见解析；②图见解析
(2)
【分析】（1）①作已知的角平分线即可；
②先作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、，根据线段的垂直平分线的作图和性质及平分，可得，即四边形是菱形．
（2）利用菱形的性质证得，可得，即，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示，
②如图所示，四边形为所求．
（2）解：四边形为菱形，
，，
，
，
，，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，菱形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，熟练掌握相关尺规作图是解题关键．
17．(1)
(2)；
(3)当时，，理由见解析
【分析】（1）过点作于点，由正方形的性质求出，由直角三角形的性质求出和的长，则可得出答案；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；
（3）由锐角三角函数的定义得出，求出，，证明和都是等腰直角三角形，则可得出答案．
【详解】（1）解：过点作于点，
，
四边形是正方形，，，
，，
，，
，
；
（2）解：四边形是边长为3的正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当时，，
理由：，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
18．（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）由矩形的性质和锐角三角函数定义，得，再由折叠性质得：，故是等边三角形，即可得结论；
（2）由折叠性质得：，，则，再证，根据相似的性质可得的长；
（3）分类讨论且结合作图，当点E在B、C之间时，得，运用勾股定理得，，故；当E与C重合时，，，即可作答．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
是等边三角形，
，
；
（2）由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，即，
（负值已舍去），
即的长为；
（3）设，，
分两种情况：当点E在B、C之间时，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中， ，，
∴；
当E与C重合时，，
∴；
综上所述，的正切值为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，相似三角形的判定与性质，折叠性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为，设运动时间为t，则，，，根据得到，列出比例式，当时，四边形是平行四边形，即可证；
（2）根据，得，根据点E在的平分线上，得到，于是得到即，建立方程，解答即可；
（3）连接与交于点O，求得，过点N作于点G，交于点H，则为菱形的高，根据，就可以得到，根据，得到，求得，后根据解答即可．
（4）连接与交于点O，设与交于点Q，求得，得到，证明，得，根据三角形中位线定理，得，故，解得．
【详解】（1）解：∵菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为，
设运动时间为t，则，，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，四边形是平行四边形，即可证，
于是，，
解得，
故当时，．
（2）解：∵，
∴，
∵点E在的平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故当时，点E在的平分线上．
．
（3）解：连接与交于点O，
∵菱形中，，．
∴，，
∴，
过点N作于点G，交于点H，
则为菱形的高，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
．
（4）解：连接与交于点O，设与交于点Q，
∵菱形中，，．
∴，，
∴，
∴，
∴，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握性质和三角函数的应用是阶梯的关键．
20．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用四边形是正方形，得出，，再证明，即可证明；
（2）①设交于点，交于点，先证明证明，再证明和是等腰直角三角形，求出，，求出，再证明，得出，结合，即可求解；
②连接，取的中点，连接、．先证明，得出在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，求出、，利用，判定，则可求出，当旋转角从变化到时，在上运动，求出，利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
∵，
∴，
，
在和中，，
；
（2）解：①如图，设交于点，交于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，，
是等腰直角三角形，
，，
∴，
，
，
∴，
又，
；
②如图，连接，取的中点，连接、．
四边形是正方形，
，
点是的中点，
，，
同①可知，
点是的中点，
，
∴在以为圆心，为半径的上，
如图，过作于，
当时，
，
，
，
，，
，，
，
又，
，
，
，
，
当旋转角从变化到时，在上运动，
，，，
，
∴点经过路线的长度为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
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