2025年中考数学考前复习专题15：锐角三角函数（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题15：锐角三角函数
一、单选题
1．如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若，，，则的值估计在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间
4．如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图在中，，在上取一点，使，为中点，与交于点，若，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．
7．如图，的对角线、交于点以为直径的半圆经过点，若的周长为，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在菱形中，点分别是的中点，连接若，，则的长为 ．
10．如图，在矩形中，以点A为圆心，的长为半径作圆，交于点E，过点B作的切线交于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为 ．
11．如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为 ．
12．如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为 ．
13．如图，在矩形中，，，为矩形内一点，连接、、，，则的最大值为 ．
14．如图，平行四边形，，，，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为，为中点，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰巧也为，则 ．
三、解答题
15．计算：．
16．图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆垂直于地l，活动杆固定在支撑杆上的点E处，若，，，
(1)过D作垂直于地l，求的度数．
(2)求活动杆端点D离地面的高度．(结果精确到，参考数据：)
17．如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求的长．
18．如图，内接于，过点作的切线交的延长线于，连接交于点，连接．
(1)求证；
(2)探究与的数量关系，并说明理由；
(3)若，求的半径．
19．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为．
(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽臂，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：）
20．如图1，在矩形中，垂直对角线于点E，交于点F，M是的中点，连接并延长，交于点N，于点H，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
(3)如图2，若F是的中点，，求的长．
《2025年中考数学考前复习专题15：锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C D C D C C
1．B
【分析】根据正弦函数的定义解答即可．
本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，的长为，
故，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了三角形的外角性质及解直角三角形，解题的关键是判断出是直角三角形．根据三角形的外角性质求出，然后判断出是直角三角形，利用解直角三角形即可求解．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
开挖点离点的距离：，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查正切的定义，二次根式的估值，熟练掌握正切的定义和二次根式的估值方法是解题的关键．先利用正切的定义求出，再利用二次根式的估值方法估值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴在到之间，
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查锐角三角函数的应用、含直角三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键．
先求解，可得，，然后解直角三角形可得，最后根据含直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，，
，
∴．
故选D．
5．C
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，结合题意得到，，，如图所示，过点作于点，，，，如图所示，过点作，交于点，可证，，再证，得到，设，，在中，运用勾股定理得到，由此即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵点是中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作，交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，，
∴，
故选：C ．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值的计算，相似三角形的判定和性质，掌握特殊角的三角函数的计算，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6．D
【分析】利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
根据基本作图，得垂直平分线段，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义，熟练掌握性质是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，扇形面积公式，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，证明四边形是菱形，再求出，，又，则，最后由即可求解．
【详解】解：连接，
∵为直径的半圆直径，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形的方法是解题关键．设，则，，利用勾股定理可得，再连接，交于点，过点作于点，根据折叠的性质可得垂直平分，，利用三角形的面积公式可得的长，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的长，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：∵在等腰中，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
如图，连接，交于点，过点作于点，
由折叠的性质得：垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故选：C．
9．
【分析】解直角三角形求出，进而证明，得，所以，，然后由勾股定理求出，结合点P是的中点，即可解决问题．
【详解】如图，过点P作于点G，分别延长，交于点H．
则，
，，
，
，
在菱形中，，，
∵点分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
在和中
，
，，
，，
，
∵，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理。解题关键是通过作辅助线，利用三角函数求出相关线段长度，借助菱形性质证明三角形全等，进而结合勾股定理建立线段关系求解.
10．
【分析】本题主要考查矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积，熟练掌握矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积公式是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及割补法可进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，，
∴，
∵过点B作的切线交于点G，切点为点F，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：．
11．或18或19或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点P在上和上讨论，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形的应用求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，，
①当点P在上时，，
∴为等腰三角形时，只有，
∴，
过D作于Q，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在上时，
∵为等腰三角形，
∴或或，
当时，如图，
；
当时，如图，过P作于Q，
则，
∵，
∴，
解得，
∴；
当时，如图，过D作于Q，
则，
∵，
∴，
解得，
∴
∴；
综上，t的值为或18或19或，
12．/
【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，圆周角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题．
连接，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答．
【详解】解：如图，连接，
是的中点，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图：
当，，三点共线时，的值最小，
四边形是菱形，，，
，，
∴，
∵，，
∴
，
的最小值为．
故答案为：．
13．
【分析】先根据题意判断出点在以为直径的圆上，要想使的取最大值，此题中其实就是要越大就可以，根据图形可知当与相切时，的最大，如图此时算出CG的长度即可解决问题；
【详解】解：在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以点在以为直径的圆上，
如图，作以为直径的，要使取最大值，即当与相切时，连接，
∵，
∴是的切线，
∵与相切，
∴
∵为中点，
∴，
∴
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
过点作于，
∴，
即
，
解得：，
在中，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质和解直角三角形等知识点，解决此题的关键是要找到点的位置．
14．
【分析】本题考查平行四边形的性质，其中涉及勾股定理与折叠问题以及解直角三角形相关，考查学生的综合应用能力，有一定难度．本题先连接，延长交于点，得出和，由勾股定理得出，同时过作,交于点，结合平行四边形的性质以及，列方程得出，进一步即可得出．
【详解】解：连接，延长交于点，
为中点，
，
沿翻折得到，
，
，
沿翻折得到，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
，，
,,
过作,交于点，
四边形是平行四边形，，
，
在中，由勾股定理可得：，
设,由,可得，即，
在中，，则有，
由,可得，解得，即，
．
故答案为：．
15．1
【分析】本题考实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先进行特殊角的三角函数的值，负整数指数幂，去绝对值和零指数幂的运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先根据邻补角互补求出，结合两直线平行，内错角相等得，即可作答．
（2）过点E作，易得四边形EBFM是矩形，即，再通过解直角三角形可得，即可求解．
本题考查解直角三角形的实际应用，平行线的性质与判定，矩形的性质与判定，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案．
【详解】（1）证明：，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
，，
由（1）得：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：或,（舍去），
即．
18．(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明，结合等腰三角形的性质与切线的性质可得；
（2）先证明，可得，再变形即可；
（3）过点作于点，证明，再证明，结合，再进一步求解即可；
【详解】（1）解：如图①，，
．
，
．
为切线，
．
．
（2）解：，理由见解析：
由（1）得，
，
又，
．
．
．
（3）解：如图②，过点作于点，
∵．
．
，
，
，
又，
∴，
．
．
．
．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，熟练的利用相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的应用是解本题的关键.
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
（1）根据，得出的长度；
（2）延长交于点，得出四边形是矩形，通过计算得出的长度，从而得出的长度．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：；
（2）解：，
∵，即，
，
延长交于点，则四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
答：求线段的长度约为．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用矩形的性质先证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出，进而可得出．
（2）设，，则，，由全等三角形的性质得出，再得出，再根据正切的定义得出，进而可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．
（3）延长，相交于点G，设．由矩形的性质得出，由全等三角形的性质得出，．再证明，由全等三角形的性质得出，求出b的值，再根据勾股定理得出，再根据等面积法求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，．
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴M是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：设，，则，．
由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
解得：，（舍去）
∴
（3）解：如图，延长，相交于点G，设．
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴在中，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，全等三角形综合问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
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