2025年中考数学考前复习专题01：有理数及其运算（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题01：有理数及其运算
一、单选题
1．2025年2月27日，国家能源局发布《2025年能源工作指导意见》，明确今年全国发电总装机达到36亿千瓦以上，新增新能源发电装机规模2亿千瓦以上．数据“36亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．3的倒数是（ ）
A． B． C．3 D．
4．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（ ）
A．次 B．次 C．次 D．次
5．下列运算结果中，与式子的运算结果不相等的是（ ）
A．30个5相乘 B．200个5相加 C．个相加 D．个相加
6．在，，，，，各数中，负数的个数是（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
7．手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强，下列信号最强的是（ ）
A． B． C． D．
8．1700多年前，我国数学家刘徽（今山东滨州人）首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．例
如：
这个记载比国外早了近八百年．根据上述材料，下列选项所示的算筹，表示的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入300元，记作元，则元表示 ．
10．若m、n为实数，且，则为 ．
11．若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则，，的大小关系是 ．
12．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，，则 ．
13．如题图，将，，0，，，3，，5，6填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值是 ．
5
14．用定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．例如：．则
15．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
17．如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，点在点的左侧，，两点间的距离为4，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值．
18．对任意有理数a，b，c，d，规定，例如：，根据以上规定解决以下问题．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
19．如图，A，B，C三个乒乓球分别代表一种运算，利用这三个乒乓球设计一个数学游戏，我们可以将A，B，C的顺序重新排序，任意选择一个实数进行一次列式计算．例如：若实数2按的顺序运算，则可列算式为．
(1)对于实数5，经过的顺序运算后，求出计算结果；
(2)对于实数，经过的顺序运算后，要使结果不超过，求出的最小值．
20．李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数．
(1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值；
(2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值．
21．年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元．
(1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价；
(2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由．
22．为了大力支持消费者购买绿色智能家电，满足人民美好生活需要，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，规定：活动期间，北京市居民购买电视、冰箱、洗衣机等8大类家电，给予以旧换新补贴．购置一级能效家电，按照新购电器售价的给予补贴；购置二级能效家电，按照新购电器售价的给予补贴．每位消费者每类产品可补贴1件，每件补贴金额不超过2000元．
(1)活动期间，王先生购买了一台12000元的一级能效家电，可获得 元的补贴；
(2)活动期间，王先生购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴3000元，已知电视机的售价比冰箱售价的2倍还多4000元．求电视机和冰箱的售价各是多少元？
《2025年中考数学考前复习专题01：有理数及其运算》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A B B C B D
1．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：36亿，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了根据数轴上点位置判定式子符号，数形结合是解题的关键．由数轴图可知，，，然后逐项判断即可．
【详解】解：由数轴图可知，，，
，，，
观察四个选项，选项C正确，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解此题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数即可得出答案．
【详解】解：3的倒数是．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，
设经过次传输，可以结束程序，
∵，，
∴，
解得，
∵为正整数，
∴的值为，即经过次传输，可以结束程序，
故选：．
5．B
【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法．根据就是n个a相乘的积，结合同底数幂的乘法法则计算即可作答．
【详解】解：∵，
∴式子的运算结果可以是30个5相乘，或个相加，或个相加，
不可能是200个5相加．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查负数的判断，根据相反数的概念、绝对值的性质、负数的奇数次幂等相关知识点正确判断是解题关键．
根据负数的相反数为正、绝对值的意义、幂的运算等相关原则，进行计算分析即可．
【详解】解：，为正数；
，为负数；
，既不是正数，也不是负数；
，为负数；
，为负数；
，为负数；
所以负数个数为4个，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查绝对值及实数的大小比较，熟练掌握绝对值的实际意义是解题的关键．根据绝对值的实际意义即可求得答案．
【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，，
∵，
∴信号最强的是．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了正负数的意义．根据用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可求解．
【详解】
解：根据题意，表示的是．
故选：D．
9．支出200元
【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．根据题意，正数表示收入，则负数表示支出，据此即可解答．
【详解】解：若收入300元，记作元，则元表示支出200元．
故答案为：支出200元．
10．
【分析】，
本题考查了绝对值与算术平方根的非负性质，负整数指数幂，求代数式的值；利用非负性求出m与n的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．
根据绝对值的意义得到，即可得到答案．
【详解】解：，即有两个解，
．
即，只有一个解，
．
无解，
．
．
12．3
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．
根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
∵抛物线与x轴交点处，
∴令，即．
∴或，
解得：∴，，
，
故答案为：3．
13．
【分析】本题考查了乘方，零指数幂绝对值和数字类规律，找到规律是解决问题的关键：
先化简，，，得到一组常规有理数，计算这组有理数总和，除以得出每行、列、对角线三数之和（幻和），利用幻和，根据第三行已知数求出第三行第三个数，再依据第三列已有的两个数求出的值．
【详解】因为，，，
所以这组数据为，，，，，，，，．
这个数总和为 ．
∵九宫格三行（或三列）和等于这个数总和，且每行、每列、每条对角线三个数和相等，
∴每行、每列、每条对角线三个数和均为，
∴第三行的第三个数为，
∴第三列中间数a为，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查有理数的混合运算，要熟练掌握混合运算顺序是解题的关键．根据新定义进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算．
根据表示不超过的最大整数求解，列式计算．
【详解】由题意得：．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用同号两个有理数加法法则运算即可；
（2）利用有理数加减混合运算法则运算即可；
（3）利用含乘方的有理数混合运算法则运算即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
17．(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解分式方程，掌握数轴上两点间的距离公式及解分式方程的步骤是解题关键；
（1）由数轴上两点间距离求得，然后代入求值；
（2）由数轴上两点间距离可得，然后列分式方程进行计算，注意结果要进行检验．
【详解】（1）解：∵，点在点的左侧，点与点之间的距离为4，
∴，
∴；
（2）解：∵点在点的左侧，点与点之间的距离为4，
∴，
∴，
解得．
经检验，当时，，
∴是方程的解，即的值为．
18．(1)6
(2)
【分析】本题主要考查了新定义下的有理数运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据所给的新定义进行求解即可；
（2）根据所给的新定义建立方程求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：因为，
所以，
整理得，
解得．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次不等式，熟练掌握有理数运算的法则是解题的关键．
（1）仿照示例，即可得到运算结果；
（2）仿照示例，得到，解答即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意，得
；
（2）由题意，得
，
，即的最小值为5．
20．(1)这个算式的值为
(2)被遮挡的数的最小值为
【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键．
（1）将直接代入算式即可求解；
（2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则，
这个算式的值为．
（2）解：设被遮挡的数为，
由题意得：，
解得：，
被遮挡的数的最小值为．
21．(1)哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元；
(2)不能购买到原来统计的手办，理由见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）先求得原计划购买的数量，按照团购方案进行计算，与比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得，
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意，
（元）
答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元；
（2）解：不能购买到原来统计的手办，理由如下：
原计划购买哪吒手办个，购买敖丙手办个，
依题意，
∵敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．
∴购买敖丙手办个，则需要
∴不能购买到原来统计的手办
22．(1)2000
(2)冰箱的价格为5000元，则电视机的价格为14000元
【分析】本题考查了有理数乘法的实际应用，一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键：
（1）根据一级能效家电的补贴百分比列式计算即可；
（2）设冰箱的售价为元，则电视机的售价为元，根据购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴元列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，
则可获得元的补贴；
（2）解：设冰箱的价格为元，则电视机的价格为元．
由题意可得，冰箱可获得的补贴为或者2000元，电视机可获得的补贴为或2000元，
共获得以旧换新补贴3000元，
冰箱和电视机最多有一项补贴为2000元，
①两项的补贴均不超过2000元：
解得：，舍去；
②冰箱和电视机有一项补贴为2000元；
，
电视机补贴为2000元，
此时，，
解得：，符合题意；
，．
答：冰箱的价格为5000元，则电视机的价格为14000元．
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