2025年中考数学考前复习专题03:分式与分式方程(含解析)

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名称 2025年中考数学考前复习专题03:分式与分式方程(含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-05-08 11:20:54

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2025年中考数学考前复习专题03:分式与分式方程
一、单选题
1.化简结果正确的是(  )
A. B. C. D.
2.已知,则代数式的值是( )
A.2 B. C. D.
3.若(A、B、C均为常数)的计算结果为,则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如果使分式有意义的a和b的值都扩大为原来的2倍,则分式的值扩大为原来的4倍,那么整式A可以是( )
A. B. C. D.
5.从这七个数中,随机抽一个数,记为a.若数a使关于x的一元二次方程有实数解,且关于y的分式方程有正整数解,则抽到的数a恰好符合条件的概率是( )
A. B. C. D.
6.某小区为了改善环境,计划在花坛种植300株花,由于志愿者的加入,每小时比原计划多种50株,结果提前0.5小时完成任务.设原计划每小时种x株,根据题意,可列方程( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7.计算: .
8.在函数中,自变量的取值是 .
9.若,则 .
10.对实数,定义运算“★”如下:,计算 .
11.方程的解为 .
12.关于x的方程的解为非负数,则m的取值范围是 .
13.若关于x的分式方程的解为正数,且一次函数的图象经过第一、二、三象限,则所有满足条件的整数a的值之和为 .
14.已知甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相等.如果两个人每小时共做140个零件,那么甲、乙两个人每小时各做多少个零件?设甲每小时做x个零件,则乙每小时做 个零件,所列方程为 .
三、解答题
15.先化简再求值:,其中.
16.已知,求代数式的值.
17.解方程:.
18.已知关于的分式方程.
(1)若表示的数是2,解这个分式方程;
(2)查询发现正确答案为“原分式方程无解”,请你求出原分式方程中代表的数是多少.
19.观察以下等式:
第个等式:,
第个等式:,
第个等式:,
第个等式:,
第个等式:,
按照以上规律.解决下列问题:
(1)写出第个等式:______;
(2)写出你猜想的第个等式(用含的式子表示),并证明.
20.据灯塔专业版数据,截至2025年2月18日,《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元,登顶全球动画电影票房榜,是亚洲首部票房过百亿的影片,并创造了全球单一电影市场最高票房纪录.该片来源于哪吒闹海的传统故事,但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象:表面吊儿郎当,实则勇敢坚毅,强烈反差引发情感共鸣;“我命由我不由天”的不屈精神,让观众泪目.为满足儿童对哪吒的喜爱,某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶.已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍,且购进两种玩偶的数量共15个.
(1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元?
(2)因销售效果不错,该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个,且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的3倍,问此次购进最少要花多少钱?
21.某生产商计划用相同材质的结绳编织两种中国结,其中320米结绳用于编织团锦结,168米结绳用于编织福字结.已知每个团锦结使用结绳长度比每个福字结使用结绳长度少0.2米.若编织出的团锦结数量是福字结数量的2倍,且刚好能用完所有结绳.

(1)求该生产商能编织团锦结和福字结各多少个.
(2)已知原来每个团锦结的成本为35元,售价为45元;每个福字结的成本为28元,售价为35元.由于制作工艺升级,制作成本有所增加.且两种中国结制作成本增加的金额相同,售价不变.若该生产商希望全部售出两种中国结后的总利润不低于840元,求每个中国结的成本最多增加多少元.
《2025年中考数学考前复习专题03:分式与分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B D D D D
1.A
【分析】本题主要考查了同分母分式加减,根据同分母分式相加减时,分母不变,分子相加减,进行计算即可.
【详解】解:.
故选:A.
2.B
【分析】此题考查了分式的化简求值.利用分式的加法和整体代入得到即可求出答案.
【详解】解:∵
∴,
故选:B
3.D
【分析】本题考查分式的加减运算,解三元一次方程组,解题的关键是正确化简分式.
先将化简计算得到,则得到方程组,即可求解,再代入求值.
【详解】解:

∵(A、B、C均为常数)的计算结果为,
∴,
解得:,
∴,
故选:D.
4.D
【分析】本题考查分式的基本性质,根据分式的基本性质逐项判断即可.
【详解】解:若整式A是,将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得,分式的值不变,则A不符合题意;
若整式A是,将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得,分式的值不变,则B不符合题意;
若整式A是将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得,分式的值扩大为原来的2倍,则C不符合题意;
若整式A是,将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得,分式的值扩大为原来的4倍,则D符合题意;
故选:D.
5.D
【分析】本题考查概率公式,根的判别式,分式方程的解,熟练掌握相关知识点是解答本题的关键.
利用一元二次方程根的判别式可得,即.由分式方程可得,进而可得为正整数,且不等于1.由题意可知,抽到的数共有7种等可能的结果,其中抽到的数恰好符合条件的结果有2种,利用概率公式可得答案.
【详解】解:∵关于的一元二次方程有实数解,

解得:.
解分式方程得,
∵关于的分式方程有正整数解,
∴为正整数,且不等于1.
∴这七个数中,满足以上条件的的值有:0,2,
∴抽到的数恰好符合条件的概率是.
故选:D.
6.D
【分析】设原计划每小时种x株,则实际每小时种株,根据前1小时完成任务.列出分式方程即可.
本题考查从实际问题抽象出分式方程,找出等量关系是解答本题的关键.
【详解】解:设原计划每小时种x株,
根据题意得,.
故选:D.
7.
【分析】本题考查分式的加减运算,将原式转化为同分母分式减法,然后根据同分母分式加减法运算法则进行计算即可.
【详解】解:

故答案为:.
8.
【分析】本题考查了函数自变量的范围,分式有意义的条件,根据分母不等于列式计算即可得解.
【详解】解:∵,
∴,
故答案为:.
9.7
【分析】此题考查分式的化简求值.把,两边平方,即可求得的值,即可解答.
【详解】解:∵,
∴,即,
∴.
故答案为:7.
10.2
【分析】本题考查了新定义下的实数运算,涉及负整数指数幂的运算,理解新定义是解题的关键.
根据新定义分别求,,再代入即可求解.
【详解】解:,,
∴,
故答案为:2.
11.
【分析】此题考查了解分式方程.去分母化为整式方程,解整式方程并检验即可.
【详解】解:,
去分母得到,,
解得,
经检验,是分式方程的解,
故答案为:.
12.且
【分析】本题主要考查解分式方程,分式方程的解,解一元一次不等式,先解出方程的解为,再根据题意列出不等式知且,最后求解即可,掌握知识点的应用是解题的关键.
【详解】解:,
∴,
∴,
∴,
由题意可知且,
解得且,
故答案为:且.
13.
【分析】本题考查了分式方程与一次函数的综合,熟练掌握解分式方程的方法以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键.
先求出分式方程的解,根据分式方程的解为正数,可得且,再由一次函数的图象经过第一、二、三象限,可得,从而得到所有满足条件的整数a的值为2,4,5,即可求解.
【详解】解:

解得:,
∵分式方程的解为正数,
∴且,
∴且,
解得:且,
∵一次函数的图象经过第一、二、三象限,
∴,
解得:,
∴且,
∴所有满足条件的整数a的值为2,4,5,
∴所有满足条件的整数a的值之和是.
故答案为:
14.
【分析】本题考查了列代数式,列分式方程,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系.
设甲每小时做x个零件,由两个人每小时共做140个零件,即可表示出乙每小时做的零件个数,然后根据“甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相同”列出方程即可.
【详解】解:设甲每小时做x个零件,
∵两个人每小时共做140个零件,
∴乙每小时做个零件,
根据题意得,,
故答案为:;.
15.,
【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理数,先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简原式,再代值求解即可.
【详解】解:

当时,
原式

16.2
【分析】本题主要考查分式的化简求值,掌握分式的化简是关键.
根据分式的性质化简,再代入计算即可.
【详解】解:

∴ 当时,原式 .
17.
【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程,去分母转化为一元二次方程是解题的关键;先去分母化为一元二次方程,再解一元二次方程并检验即可得解.
【详解】解:等式两边同乘以得,



,,
经检验:是原方程的增根,舍去;
所以原方程的解为.
18.(1)
(2)
【分析】本题考查解分式方程,分式方程无解问题,熟练掌握解分式方程的步骤,正确的计算,是解题的关键:
(1)去分母,将方程转化为整式方程,求解后进行检验即可;
(2)去分母,将方程转化为整式方程,分整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行求解即可.
【详解】(1)解:当时,方程化为:,
去分母,得:,
解得:;
经检验,是原方程的解,
∴方程的解为.
(2),
去分母,得:,
整理,得:,
∵分式方程无解,
∴方程有增根,
∴,
∴,
∴,
∴.
19.(1)
(2);证明见解析
【分析】本题考查算式规律的归纳能力,分式的化简求值,解题的关键是能准确理解题意,并通过观察、计算、归纳进行求解.
根据前个等式的规律可知,第个等式应是,可得等式:;
由中的规律可知,第个等式应是,分别把等式左边、右边的分式化简,可得结果都为,即可证明等式成立.
【详解】(1)解:第个等式:,
第个等式:,
第个等式:,
第个等式:,
第个等式:,
根据规律可得,第6个等式:;
故答案为:;
(2)解:猜想:第个等式为,
证明:左边,

左边右边,
故猜想成立.
20.(1)A种哪吒玩偶单价是30元,B种哪吒玩偶单价是60元
(2)3000元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,找出w关于a的函数关系式.
(1)设购进A种哪吒玩偶的单价是x元,则购进B种哪吒玩偶的单价是元,利用数量=总价÷单价,结合购进两种玩偶的数量共15个,可列出关于x的分式方程,解之经检验后,可得出x的值(即购进A种哪吒玩偶的单价),再将其代入中,即可求出购进B种哪吒玩偶的单价;
(2)设购进A种哪吒玩偶个,则购进B种哪吒玩偶个,根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍,可列出关于a的一元一次不等式,解之可得出a的取值范围,设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元,利用总价=单价×数量,可找出w关于a的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题.
【详解】(1)解:设A种哪吒玩偶的单价为元,则B种哪吒玩偶的单价为元.
根据题意,得:
解得:
经检验:是原分式方程的解
B种:元
答:A种哪吒玩偶单价是30元,B种哪吒玩偶单价是60元.
(2)解:设购进A种哪吒玩偶个,则购进B种哪吒玩偶个
根据题意,得:
解得:
花费
整理,得:
∵,当时,随的增大而减小
∴当时,元
答:此次购进最少要花3000元.
21.(1)该生产商能编织福字结40个,能编织团锦结80个
(2)每个中国结的成本最多增加2元
【分析】本题考查了分式方程的应用,一元一次方程的应用,弄清题意,理清各量间的关系是解题的关键.
(1)设该生产商能编织福字结x个,则能编织团锦结个,根据每个团锦结使用结绳长度比每个福字结使用结绳长度少0.2米,列出分式方程,解方程即可;
(2)设每个中国结的成本增加a元,根据生产商希望全部售出两种中国结后的总利润不低于840元,列出不等式,解不等式即可得出结论.
【详解】(1)解:设该生产商能编织福字结x个,则能编织团锦结个,
根据题意得,,
解得,
经检验是分式方程的解,符合题意,
∴,
答:该生产商能编织福字结40个,能编织团锦结80个;
(2)解:设每个中国结的成本增加a元,
根据题意得,,
解得,
∴每个中国结的成本最多增加2元.
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