2025年中考数学考前复习专题04：二次根式（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题04：二次根式
一、单选题
1．若 ，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则代数式的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．计算，正确的结果是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．把边长为5的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（ ）
A． B．10 C． D．
6．当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．将二次根式（且为整数）输入到一个二次根式程序里进行运行，得到以下结果：运行1次得到，运行2次得到，运行3次得到，…，运行次得到，…，以此运行下去，下列说法：
①当时，；
②若，则；
③若，则运行次数的值有1012种情况．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．请写出一个能与合并的二次根式 ．
10．已知，则 ．
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为 ，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为 ．（精确到0.01）
13．已知，，则＝ ．
14．计算： ．
15．如图，要在长、宽的长方形木板上截两个面积分别为和的正方形，是否可行？ ．（填“可行”或“不可行”）
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．已知：，．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是_____，小数部分是_____；
(2)若的整数部分是，小数部分为，，求的值．
19．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”．
(1)关于的“美好数”是______；
(2)化简：；
(3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值．
20．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
21．如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点重合），点F在的延长线上，且，连接，交于点P，交于点Q，连接．
(1)求证
①；
②；
(2)若，求的长；
(3)连接，在点E的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由．
《2025年中考数学考前复习专题04：二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A D A B B D
1．A
【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和无理数的估算．先利用分母有理化化简二次根式，再进行无理数估算即可．
【详解】解：；
∵，
∴，
即；
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据，，得，结合
，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵
，
∴
．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则．
直接利用二次根式的乘法运算求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D． 是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键，由题意利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，从而可求四边形的周长．
【详解】解：连接，
∵旋转角，，
∴在对角线上，
∵，
在中，，
∴，
在等腰中，，
在直角三角形中，，
∴，
∴四边形的周长是：．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了不等式的性质，二次根式的性质，先根据不等式的性质判断，的正负，再根据二次根式的性质化简 即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴
．
故选B．
7．B
【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及根式的性质，根据数轴判断出，再根据二次根式的性质化简即可得到答案；
【详解】解：由数轴可得，，
，
，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查找规律，涉及整数乘法运算、因式分解及二次根式性质等知识，先对题中的进行化简得到规律，再根据不同说法，代值验证即可得到答案．读懂题意，根据相关运算找准规律是解决问题的关键．
【详解】解：，
且为整数，
，则，
，
，
，
当时，，故①正确；
若，则，解得，故②正确；
若，则，则，
且为整数，为非负整数，
，解得，且为偶数，
则运行次数的值有种情况，故③正确；
综上所述，说法正确的是①②③，共3个，
故选：D．
9．（答案不唯一）
【分析】此题考查了同类二次根式：含有相同的被开方数的最简二次根式，正确掌握同类二次根式的定义是解题的关键．可以合并的二次根式即为同类二次根式，据此解答．
【详解】解：
可以与合并的二次根式是，
故答案为：（答案不唯一）．
10．/
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，把代入原式中，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
12． 5.1 35.10
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理及二次根式的性质，解题的关键是理解“不加借算”的意义；因此此题可根据“不加借算”的意义进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
；
如图，是等边三角形，过点A作于点D，
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为5.1；35.10．
13．4
【分析】本题考查了二次根式化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式的变形进行二次根式的运算．
将和的值代入二次根式，利用完全平方公式进行化简即可．
【详解】解：将，代入得
故答案为：4．
14．/
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、平方差公式、积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与平方差公式是解决问题的关键．
【详解】解：
故答案为：．
15．不可行
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与7的大小即可．此题要能够正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小．
【详解】解：，
，
．
则截两个面积为和的正方形，不可行．
故答案为：不可行．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的运算，灵活运用二次根式的运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先计算二次根式的乘法和除法，然后再合并即可得到答案；
（2）原式先根据单项式乘以多项式和平方差公式进行运算，去括号后再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)6
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2），
则
18．(1)4，
(2)3或13
【分析】本题考查二次根式估值，绝对值计算，二次根式混合计算等．
（1）根据题意可得，继而得到本题答案；
（2）由题意得，，，再将字母的值代入式子的值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分是4，
∴小数部分是，
故答案为：4，；
（2）解：，
的整数部分，小数部分，，
当时，，
，
，
，
；
当时，，
，
，
，
；
∴或13．
19．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解；
（）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解；
（）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可．
【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得，
则关于的“美好数”是，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：关于的“美好数”，
∴
．
20．(1)
(2)7200元
【分析】本题考查二次根式实际应用，二次根式混合计算，平方差公式计算等．
（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可；
（2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可．
【详解】（1）解：根据题意可知：
．
∴周长是：；
（2）解：，
，
，
（元），
∴张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为7200元．
21．(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）①根据证明即可．②由全等三角形的性质可得，，证明，结合，，可得，从而可得结论；
（2）作交的延长线于H，可证，可得，，即可求解；
（3）由（2）可得，即可得到，得到为定值．
【详解】（1）证明：①∵正方形，
∴，，
∵
∴．
②∵，
∴，，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作交的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，；
∵，，
∴，，
∴；
（3）解：为定值，理由如下：
由（2）可得，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为定值．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
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