2025年中考数学考前复习专题05：二元一次方程组（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题05：二元一次方程组
一、单选题
1．在下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若方程组的解是，则（ ）
A．2 B． C．0 D．4
3．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．3
4．已知方程组，则（ ）
A．2 B．4 C． D．3
5．甲，乙两人分别从、两地同时出发，若相向而行，则相遇；若同向而行，则甲追上乙．甲，乙两人的速度之比为（ ）．
A． B． C． D．
6．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下列所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，设公鸡买x只，小鸡买y只．则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
10．已知方程组，则的值是 ．
11．点在轴上，且距离轴4个单位长度，则 ．
12．若方程组的解中，则 ．
13．某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为 ．
14．已知方程组的解是，则方程组的解 ．
三、解答题
15．解下列方程组．
(1)
(2)
16．阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题．
解方程组：
，得，即．③
把③代入①，得，
解得．
把代入③，得．
所以原方程组的解为，
以上解方程组的方法叫做消常数项法．
请用上面的方法解方程组：；
17．现有一架天平和若干个，，的砝码，要用15个这些砝码称出的物体．
(1)在取出的砝码中，设有3个的砝码，和的砝码分别有多少个？
(2)除第（1）小题的情况外，取出的砝码还有哪几种情况（设一种砝码至少取1个）？
18．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
19．已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．
(3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费．
20．某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成3个侧面．C方式：裁剪成9个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有2块金属板材按C方式裁剪，其余都按A、B两种方式裁剪．
(1)设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪．
①可以裁剪出圆形底面共有___________个（用含x的代数式表示），侧面共有___________个（用含x，y的代数式表示）；
②当个时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
(2)现将n块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n的值是___________．（其中）
《2025年中考数学考前复习专题05：二元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A C D B D
1．D
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合题意；
B、∵，
∴，
∴
∴，不符合二元一次方程定义，故不符合题意；
C、最高项的次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意；
D、是二元一次方程，故符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解是，可以求得、的值，从而可以求得的值．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【详解】解：方程组的解是，
，
解得，，
，
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识点．根据二元一次方程的解的定义把x、y的值代入方程，得到关于a的方程求解即可．
【详解】解：把代入关于x、y的二元一次方程中，
可得：，
解得．
故选：B．
4．A
【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组的三个方程相加即可求出所求．
【详解】解：，
得：
，
，
，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了相遇问题和追击问题，涉及分式的混合运算，正确理解题意，建立方程组是解题的关键．设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，根据题意，得，解方程组解得即可．
【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，
根据题意，得，
解得，
故，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，利用总价=单价×数量，结合花费一百钱买一百只鸡，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设公鸡买x只，小鸡买y只，
由题意得，，
，
∴可得方程组为：，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查列二元一次方程组，根据图形得到大长方形的长与小长方形的长之间的数量关系，小长方形的长与宽之间的数量关系，列出方程即可．
【详解】解：由图可知，大长方形的长等于2倍的小长方形的长，等于小长方形的长加上3倍的小长方形的宽，小长方形的长等于3倍的小长方形的宽；
即：，
故可列方程组：，，；
不能得到；
故选D．
9．3
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都是1的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程，
∴，
∴
故答案为：3．
10．6
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．将方程组的两个方程相加，得到，即得答案．
【详解】解：∵，
∴两式相加得，，
故答案为：6．
11．或
【分析】此题考查了点的坐标的相关知识．点在轴上，且距离轴4个单位长度，得到关于x，y的方程组，解方程组并把解代入代数式求值即可．
【详解】解：∵点在轴上，且距离轴4个单位长度，
∴或
解得或，
当时，，
当时，，
故答案为：或
12．2025
【分析】本题考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加，可得，又由得到，求解即可解答．
【详解】解：方程组两个方程相加，得，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
13．
【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用．根据“在12场比赛，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分”列三元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据对应相等，由方程组的解是，可以得到方程组的解，本题得以解决．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴在方程组中，
解得，，
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键：
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
把①代入②，得：，解得：；
把代入①，得：；
∴方程组的解为：；
（2）原方程组转化为：
，得：，解得：；
把代入③，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
16．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，由可得，再进一步求解即可．
【详解】解：，
，得，即③，
把③代入①，得，
即．
把代入③，得．
则方程组的解是．
17．(1)的砝码有11个，的砝码有1个
(2)见解析
【分析】该题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意．
（1）设的砝码有个，则的砝码有个，根据已知列方程求出，即可解答；
（2）设的砝码有个，的砝码有个，则的砝码有个，根据已知列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设的砝码有个，则的砝码有个．
故，
解得：，则．
所以的砝码有11个，的砝码有1个．
（2）解：设的砝码有个，的砝码有个，则的砝码有个，
根据题意可得，
则．
所以或或（不符合题意，舍去），
取出的砝码数量如表：
砝码/个 6 9
砝码/个 7 3
砝码/个 2 3
18．(1)A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元
(2)方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆
(3)购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程组是解题的关键．
（1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答；
（2）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据题意列出方程，得出，结合是整数，得出是5的倍数，且，再列举出所有符合题意的值，即可解答；
（3）结合（2）中的购买方案，计算每一种方案的获利，比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，
由题意得，，
解得：，
答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元．
（2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆，
由题意得，，
整理得，，
是整数，
是5的倍数，且，
，
当，，
当，，
当，，
购买方案有3种，分别是：
方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；
方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；
方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆．
（3）解：方案一获利：（元），
方案二获利：（元），
方案三获利：（元），
，
购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元．
19．(1)一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨
(2)可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆
(3)最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元
【分析】本题考查了二元一次方程组与方案问题．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和二元一次方程．
（1）设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨，根据题意建立二元一次方程组即可求解；
（2）根据货物总重量可得，即可求解；
（3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解．
【详解】（1）解：设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨，
由题意可得，，
解得：，
答：一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨；
（2）由题意得：，
，只能取整数
，
答：可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆；
（3）解：由题意可得，
①（元；
②（元；
③（元；
最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元．
20．(1)①；；②最多能加工27个圆柱形茶叶盒
(2)30或35或40
【分析】（1）①根据题意用x表示出裁剪出圆形底面个数，然后表示出侧面个数即可；
②根据，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：①根据题意可知，可以裁剪出圆形底面共：（个）；
侧面共有：个；
②根据题意得：，
解得：，
∴（个），
答：当时，最多能加工27个圆柱形茶叶盒；
（2）解：根据题意得：，
，
均为整数，
是3的倍数，
又，且，
∴，
解得：
的值可取：15、18、21
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：30或35或40．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，列不等式，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式组．
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