2025年中考数学考前复习专题06：一元二次方程（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题06：一元二次方程
一、单选题
1．已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．1
2．一元二次方程配方可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的方程的两个实数根的倒数和为，则（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
6．某蔬菜种植基地2022年的蔬菜产量为968t，2024年的蔬菜产量为800t．设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x，则年平均下降率x应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度，设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围为 ．
10．已知，则 ．
11．关于的方程的两根为、，则的值为 ．
12．和是关于的一元二次方程的两个实数根，数轴上和所表示的点分别为，若点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，则 ．
13．中，，F是上一点，以为斜边做，，，延长交于E，，连接交于H，，，则的长是 ．
14．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：a，b，m，n，，均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
15．解方程：
(1)；
(2).
16．已知：关于的一元二次方程
(1)求证：方程有两个实数根．
(2)若是方程的一个根，求方程的另一个根；
17．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的倒方程是________；
(2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值；
(3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
18．现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为．
(1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？
(2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由．
19．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．
(1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．
20．如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．
(1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示）
(2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？
《2025年中考数学考前复习专题06：一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A A A C B D
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，根据关于的方程没有实数根，得出，得，即可作答．
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴，
∴，
观察4个选项，唯有2符合条件，
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法进行求解．
【详解】解：
；
故选A．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．熟练掌握根与系数的关系是本题的关键．根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设方程的两个实数根分别为、，
，
解得：，
，，
，
解得：，，
，
，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
先算根的判别式，然后利用可判断方程根的情况．
【详解】解：∵，
∴方程没有实数根．
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
，
整理得：，
解得：，（舍），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该种植基地2022年及2024年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x，
则，
故选：C．
7．B
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的值，即可求得取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得的取值范围，解答即可．
【详解】解：∵，
解得或，
∵点，在抛物线上，且，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解析式与不等式的关系，根与系数关系定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查一元二次方程与图形问题．找到各图形面积之间的等量关系是解题关键．
种花区域矩形空地面积，剩下区域矩形空地面积，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可知，剩下区域为规则的矩形，其长为，宽为，
∵种花区域矩形空地面积
∴剩下区域矩形空地面积，
∴．
故选：D．
9．且
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组是解题的关键．由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：∵关于的方程有两个实数根，
∴且
解得：且
故答案为：且．
10．2或3/3或2
【分析】本题考查完全平方公式，因式分解法解一元二次方程．利用完全平方公式配方以及因式分解法解一元二次方程即可得解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴或3．
故答案为：2或3．
11．
【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握整体代入的思想解决问题．由方程的两根为、，可得，确定，即可求解．
【详解】解：∵的方程的两根为、，
∴，
∴，
∴
故答案为：
12．/
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，数轴上两点的距离，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据元二次方程根与系数的关系得出，，则，．再根据点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，得出，求解即可得，从而求得，然后由求解即可．
【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
，．
由题意知，则，
解得．
，
．
故答案为：．
13．
【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，证明得，在 中，，设，证明得，则，证明和全等得，再证明，解得，然后再由勾股定理可求出，据此可得的长．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
在中，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
在中，，
，
∵，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
解得：（不合题意，舍去），
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，平行线的性质和判定，解直角三角形等知识点，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点．
14．①④/④①
【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴；故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴；故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，所以c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④；
故答案为①④．
15．(1)；
(2)．
【分析】本题综合考查了一元二次方程与分式方程的解法．解题的关键点在于：一元二次方程通过通过判别式判断根的情况并运用公式求解；分式方程需通过去分母转化为整式方程，同时必须检验解是否使原分式有意义．
（1）直接通过判别式判断根的情况并运用公式求解即可；
（2）通过去分母转化为整式方程，再解方程并检验解的合理性即是否为增根．
【详解】（1）解：，
二次项系数，一次项系数，常数项，
判别式，
，方程有两个不等实根，由求根公式得：
即；
（2）解：
两边同乘得：，
展开并整理得，
移项后得，
将代入原方程分母和，均不为零，
故是方程的解．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键．
（1）计算根的判别式即可证明；
（2）先将代入，求出，再解一元二次方程即可．
【详解】（1）证明：，
∴方程有两个实数根；
（2）解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
∴方程为：
解得：，，
∴方程的另一个根为．
17．(1)
(2)
(3)53
【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值；
（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质以及根与系数关系求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：；
故答案为：；
（2）解： 由题知，方程的倒方程为，
将代入此方程得，，解得；
（3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是，
∵，是此方程的两个不相等实数根，
∴，，，
∴，
∴
．
18．(1)能，的长为，的长为；或的长为，的长为；
(2)不能围成面积为的仓库，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
（1）设，则，根据矩形面积公式列出方程求解即可；
（2）设，则，根据矩形面积公式列出方程，看方程是否有解即可得到答案．
【详解】（1）解：设，则，
根据题意得：，
解得：或，
∵，
∴和都满足题意，
∴当时，；
当时，；
∴当，能围成总面积为的仓库，的长为，的长为；或的长为，的长为；
（2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下：
设，则，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库．
19．(1)B生产线至少加工6小时
(2)a的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．
设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可；
根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时，
根据题意可得：，
解得：
答：生产线至少加工小时；
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：的值为．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用．
（1）根据路程速度时间，即可求解；
（2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．
∴，，
则；
故答案为：．
（2）解：∵的面积等于四边形的面积的，
∴面积等于面积的，
∴，
即，
解得．
答：当时，的面积等于四边形的面积的．
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