2025年中考数学考前复习专题07：一次函数（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题07：一次函数
一、单选题
1．已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．已知和两点，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则的值为（ ）
A．6 B．6或 C．3 D．3或
3．一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（ ）
A．元 B．45元 C．元 D．48元
5．下列各点在如图所示的一次函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
6．在正比例函数（m为常熟，且）中，随的增大而增大，则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．对于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象与直线平行
B．图象与y轴的交点坐标为
C．若点，，且在一次函数的图象上，则
D．图象可由直线向下平移个单位长度得到
二、填空题
9．将直线向下平移2个单位长度后经过点，则k的值是 ．
10．已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，，则该一次函数的表达式为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为，，二次函数（a，b是常数）的图像的顶点在线段上，则的最小值为 ．
13．如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ．
14．已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ．
三、解答题
15．已知一次函数的图象过点．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象．
16．已知一次函数的图像经过点，且与直线都经过点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当的函数值大于的函数值时，求x的取值范围．
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图像于点Q，若，直接写出P点的坐标．
18．如图，一次函数与斩交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且．
(1)求一次函数关系式和的值；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．某车间生产两种笔：
A型：每支成本5元，定价为元；
B型：每支成本6元，定价为元．
根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：A型笔的销量万支与定价元的关系如下：
定价（元） … 7 8 9 10 …
销量（万支） … 100 90 80 70 …
B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支．
问题：
(1)求A型笔的销量万支与售价元的关系式；
(2)当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价为___________元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为___________万元；
(3)若A型笔每支利润不超过5元，求该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是多少？
20．已知，一次函数与轴交点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点是轴上一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，当的面积是时，求点的坐标；
(3)已知是的角平分线，在线段上找一点，使得，求点的坐标．
《2025年中考数学考前复习专题07：一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C B D A C
1．A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，由直线是一次函数，且，随的增大而增大，判断即可．掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：一次函数的自变量的系数，
随的增大而增大，
，
，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，一次函数与几何图形的综合，理解坐标轴上的点，几何图形面积的计算是关键．
根据点坐标得到对应线段的长，结合几何图形面积的计算即可求解．
【详解】解：已知和两点，
∴，
∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，
∴，
∴，
∴，
故选：D ．
3．C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据一次函数的图象经过的象限得到，，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解得，
故选：C．
4．C
【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键．
【详解】解：当时，设解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
故解析式为
当时，设直线的解析式为，代入，，
得，
解得，
直线的解析式为，
，
故，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图象用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
先由函数图象用待定系数法求出一次函数解析式，再逐项判断即可．
【详解】解：由图可知：函数图象经过点，，
把，代入得
，
解得：，
∴，
A、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意；
B、当时，，所以在一次函数图象上，故此选项符合题意；
C、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意；
D、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的图象和性质．先根据正比例函数的增减性，可得m的取值范围，再求出于x轴的交点坐标和与y轴的交点坐标，即可进行解答．
【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而增大，
∴，
∴，
∴函数的图象大致是
，
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了两条直线的交点与方程组的解的关系，
先求出两个一次函数的交点坐标，再根据两条直线的交点的横纵坐标，即为两个函数关系式对应的方程组的解得出答案．
【详解】解：∵一次函数经过点，
，
解得：，
，
∴方程组的解是．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数的图象平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
根据一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象平移的法则进行逐项分析判断即可．
【详解】解：A、直线的图象可由直线向上平移个单位长度得到，故直线与直线平行，此选项正确，但不符合题意；
B、令，则，故一次函数的图象与轴的交点为，此选项正确，但不符合题意；
C、一次函数中的，故随的增大而减小，由得，此选项错误，但符合题意；
D、直线的图象可由直线向下平移个单位长度得到，此选项正确，但不符合题意．
故选：C．
9．4
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，直线上点的坐标特征等知识；由题意可求得直线平移后的解析式，再把点的坐标代入平移后的解析式中，即可求得k的值．
【详解】解：直线向下平移2个单位长度后的解析式为：，
由于经过点，
则，得；
故答案为：4．
10．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式，先求出，，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，，
∴，，
∴，
∴，，
将，代入一次函数得，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
故答案为：．
11．2
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，理解图示，掌握交点的含义是关键．
根据题意得，，由此即可求解．
【详解】解：直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，
∴，
∴，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，先求出直线的解析式为：，求出顶点坐标为，根据二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，得出，根据二次函数的最值求出结果即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，
∴，
即，
∴当时，b取最小值．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查矩形的性质、求一次函数的解析式，连接、，交于点，根据矩形的性质求出点的坐标，因为直线将四边形的面积分成相等的两部分，所以直线过点，利用待定系数法求出即可．
【详解】解：如下图所示，连接、，交于点，
点的坐标为，
的坐标为，
又直线将四边形的面积分成相等的两部分，
直线过点，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
故答案为：．
14．
【分析】先求出，根据等边得到，解直角三角形求出，则，依次类推求出，找到规律，即可求解．
【详解】解：当，
∴，
∵等边，
∴，，
∴，
∵过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可求，
...
∴以此类推，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，点的坐标规律探索，涉及与坐标轴的交点，等边三角形的性质，解直角三角形的相关运算等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，以及画一次函数的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及画函数图象的一般步骤是解本题的关键．
（1）直接将点代入一次函数中，即可得出函数解析式；
（2）直接根据画函数图象的一般步骤列表，描点，连线即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为：；
（2）列表：
4 2
描点连线，画出该一次函数的图象如下：
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一元一次不等式的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键．
（1）将代入得出，进而待定系数法求解析式，即可求解．
（2）依题意，，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：，
∴，
将，代入，
得，
解得：，
∴；
（2）解：依题意，，
解得：．
17．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
(2)或
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
（1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点，
，
解得：，
，
解得：，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）解：设，
轴，
，，
∵，即，
∴，
∴，
，整理得：，
解得：或，
出P点的坐标为或即或．
18．(1)一次函数关系式为，；
(2)
(3)、、、．
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）将一次函数与反比例函数关系式联立，求出点C的坐标，根据即可求解；
（3）分，，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，得：，
一次函数关系式为，
在一次函数图象上，
，
，
将代入，
得：；
（2）解：将与联立，得：，
解得，，
将代入，得
，
，
，
，
；
（3）解：，
．
当时，如图：
点M的坐标为：、；
当时，作轴于点H，
则，
，
点M的坐标为：；
当时，设点M的坐标为，
则，
解得，
点M的坐标为：；
综上可知，存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，、、、．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形的存在性问题，熟练运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键．
19．(1)
(2)20；410
(3)650万元
【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数解析式是关键．
（1）A型笔的定价为7元时，销量为100万支，A型笔的定价每增加1元，销量降低10万支，据此列出函数解析式即可；
（2）求出两种笔的销量，即可求出答案；
（3）列出销售利润的二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：由题意可知，A型笔的定价为7元时，销量为100万支，A型笔的定价每增加1元，销量降低10万支，
∴，
即A型笔的销量万支与售价元的关系式为；
（2）当A型笔的定价为8元时，，即A型笔销量为万支，
此时B型笔销量为万支，
∵B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支．
∴元，
即当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价为元，
万元，
故答案为：20；410
（3）设销售利润为万元，
根据题意得：，
解得：，
A型笔的销量，
B型笔的销量，
∴，
，
开口向下
对称轴直线
当时随增大而增大
当时最大值为650
答：所获得的最大利润为650万元
20．(1)直线的函数解析式为
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为
【分析】（1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可；
（2）设，则、，过点作于点，利用，进行求解即可；
（3）方法一：作于点，利用等积法求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．
方法二：作于点，利用等积法求得，过点作，延长交轴于，连接，如图所示，在中，由勾股定理求出，再利用等积法求得，在等腰中，设，则，即，建立方程解得，在中，由勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：对于，
由得，则，
由得，解得，则，
∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的函数解析式为，
则，解得．
∴直线的函数解析式为；
（2）解：设，
则、，
过点作于点，如图所示：
∴，，
∴，
解得，
∴点的坐标为或；
（3）解法一：∵，，
∴，，
∴，
作于点，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
即，
解得，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点的坐标为．
解法二：∵，，
∴，，
∴，
作于点，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
即，
解得，
过点作，延长交轴于，连接，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，
，则，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
，解得，
在等腰中，设，则由勾股定理可知，
即，
，
解得，
在中，
．
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、等面积法求线段长等知识．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
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